El ritme euclidiá, parlant de música, va ser definit per Godfried Toussaint l’any 2004 i està descrit en un article de 2005 "The Euclidean Algorithm Generates Traditional Musical Rhythms". El máxim comú divisor de dos nombres és utilitzat rítmicament donant el nombre de polsos i silencis, generant casi tots els ritmes més importants de la Música Mundial. Els polsos als ritmes resultants son tan equidistants com són posibles; els mateixos resultats poden ser obtinguts mediant l'algoritme de Bresenham.

Toussaint va aplicar l'algorisme d'Euclides a la distribució d'accents musicals en els ritmes musicals.

Càlcul del MCD mediant l'algorisme d'Euclides L’algorisme d’Euclides és un algoritme recursiu i es basa en dues propietats senzilles del Màxim Comú Divisor:

MCD(a, 0) = a: El MCD de qualsevol nombre (natural) a i 0 és a. MCD(a, b) = MCD[b, rest(a/b)]: El MCD de dos nombres (naturals) a i b és el mateix que el MCD de b, i el rest de dividir a entre b (a%b).

Es considera un algoritmo recursiu ja que conté un cas base (Propietat 1) i un caso simplificador (Propietat 2).

Exemple:

mcd(20, 12) Aplicant P2 (20%12 = 8): mcd(12, 8) Aplicant P2 (12%8 = 4): mcd(8, 4) Aplicant P2 (8%4 = 0): mcd(4, 0) Aplicant P1: mcd(20, 12) = mcd(4, 0) = 4

Algorisme de Toussaint Nota: L'algorisme desenvolupat a continuació és el que va desenvolupar Toussaint en el seu article, el qual està directament implementat amb l'algorisme d'Euclides.

L'aplicació més usada és la de repartir de manera equitativa una determinada quantitat de polsos en una quantitat establerta d'unitats de temps, creant així el que es coneix com a "Ritmes Euclidians".

Considerem que un temps sense accent es representa amb un zero (0), i un temps accentuat es representa amb un (1); i volem distribuir equitativament "i accents" en "x temps".

L'algorisme de Toussaint, explicat amb un exemple que distribueix 4 accents en 11 temps. Consisteix en:

Situem els "0's" a l'esquerra, pertanyent al grup en negreta; i els "1's" a la dreta, pertanyent al grup en cursiva: 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 Aparellem cada 1 a la dreta de cada 0 per a formar parelles '01'. Les parelles realitzades ara pertanyen al grup de negretes i, la resta, al grup de cursives: 01 01 01 01 0 0 0 Ara, aparellem cada 0 a la dreta de cada parella de '01', formant trios '010'. A l'igual, la parella de '01' que sobre, passaria al grup de cursives: 010 010 010 01 El procés es repeteix fins que no quedin números solts, o ens quedi només un (com en el cas de l'exemple). En aquest punt, s'unifiquen tots els grups en ordre d'esquerra a dreta: 01001001001

La seqüència resultant seria la distribució equitativa de 4 accents en 11 polsos.

El patró obtingut pot ser desplaçat sempre que mantingui els mateixos intervals. Per exemple, les seqüències 010.010.010.01, 1.010.010.010.0 i 0.010.010.010.1 són equivalents, ja que l'única cosa que les diferencia és que hem girat els polsos cap a la dreta. (En negreta i cursiva es pot veure com va desplaçant-se un mateix element al llarg de la rotació).

Aplicacions reals de l'algorisme en la música La distribució homogènia dels accents en determinades pulsacions és una cosa que s’ha anat fent de manera inconscient i involuntària al llarg de la història de la música, ja que és lògic pensar que l’ésser humà sempre busca l’harmonia i l’equilibri en les seves expressions artístiques. Evidentment, això no es compleix en tots els casos, però sí en la majoria.

Els casos més trivials són aquells en què la seqüència de pulsacions accentuades es determina amb un sol pas de l’algorisme de Toussaint, és a dir, quan els accents s’aparellen amb pulsacions febles sense que en quedi cap de lliure o aïllada.

Aquest algoritme és un potent recurs compositiu en la música, ja que es pot fer servir de forma aleatòria (escollir dos números a l’atzar i formar el ritme euclidià) i s’obtindria una base rítmica amb la qual la cançó pot direccionar-se (cap a un rumb.)

A més, suposa una nova forma de denominar determinats ritmes que anteriorment no es podia. De la mateixa manera que existeix una relació intervàl·lica entre notes musicals, anomenada "Tonalitat" (per exemple, tonalitat de Fa menor o Fm), podem referir-nos a alguns ritmes de forma precisa.

Vegeu també Composició algorítmica

Referències

Categoria:Teoria de la música Categoria:Aritmètica