La hipòtesi de la utilitat esperada és una suposició fonamental en economia matemàtica relativa a la presa de decisions en condicions d'incertesa. Postula que els agents racionals maximitzen la utilitat, és a dir, la desitjabilitat subjectiva de les seves accions. La teoria de l'elecció racional, una pedra angular de la microeconomia, construeix aquest postulat per modelar el comportament social agregat.
La hipòtesi de la utilitat esperada estableix que un agent tria entre perspectives arriscades comparant els valors de la utilitat esperada (és a dir, la suma ponderada de sumar els valors d'utilitat respectius dels pagaments multiplicats per les seves probabilitats). La fórmula resumida per a la utilitat esperada és on és la probabilitat que el resultat estigui indexat per amb pagament es realitza, i la funció u expressa la utilitat de cada recompensa respectiva. Gràficament, la curvatura de la funció u captura l'actitud de risc de l'agent.
Per exemple, imagina't que t'ofereixen l'opció de rebre 50 dòlars segurs o llançar una moneda al aire per guanyar 100 dòlars si surt cara i res si surt creu. Tot i que ambdues opcions tenen el mateix pagament mitjà (50 dòlars), molta gent tria els 50 dòlars garantits perquè valoren més la certesa de la recompensa més petita que la possibilitat d'una de més gran, cosa que reflecteix preferències d'aversió al risc.
Les funcions d'utilitat estàndard representen preferències ordinals. La hipòtesi de la utilitat esperada imposa limitacions a la funció d'utilitat i fa que la utilitat sigui cardinal (tot i que encara no és comparable entre individus).
Tot i que la hipòtesi de la utilitat esperada és una suposició comunament acceptada en les teories subjacents a la modelització econòmica, sovint s'ha descobert que és inconsistent amb els resultats empírics de la psicologia experimental. Els psicòlegs i els economistes han estat desenvolupant noves teories per explicar aquestes inconsistències durant molts anys. Aquestes inclouen la teoria de la perspectiva, la utilitat esperada dependent del rang i la teoria de la perspectiva acumulativa, i la racionalitat limitada.
Justificació La formulació de Bernoulli Nicolaus Bernoulli va descriure la paradoxa de Sant Petersburg (que implica valors esperats infinits) el 1713, cosa que va impulsar dos matemàtics suïssos a desenvolupar la teoria de la utilitat esperada com a solució. L'article de Bernoulli va ser la primera formalització de la utilitat marginal, que té una àmplia aplicació en economia a més de la teoria de la utilitat esperada. Va utilitzar aquest concepte per formalitzar la idea que la mateixa quantitat de diners addicionals era menys útil per a una persona ja rica que per a una persona pobra. La teoria també pot descriure amb més precisió escenaris més realistes (on els valors esperats són finits) que el valor esperat per si sol. Va proposar que s'hauria d'utilitzar una funció no lineal de la utilitat d'un resultat en lloc del valor esperat d'un resultat, tenint en compte l'aversió al risc, on la prima de risc és més alta per a esdeveniments de baixa probabilitat que la diferència entre el nivell de pagament d'un resultat particular i el seu valor esperat. Bernoulli va proposar a més que l'objectiu del jugador no era maximitzar el seu guany esperat, sinó maximitzar el logaritme del seu guany.
El concepte d'utilitat esperada va ser desenvolupat més endavant per William Playfair, un escriptor polític del segle XVIII que abordava sovint temes econòmics. En el seu pamflet de 1785 The Increase of Manufactures, Commerce and Finance, una crítica de les lleis d'usura britàniques, Playfair va presentar el que argumentava que era el càlcul que feien els inversors abans de comprometre fons a un projecte. Playfair va dir que els inversors estimaven els guanys i les pèrdues potencials, i després avaluaven la probabilitat de cadascun. Això era, en efecte, una representació verbal d'una equació d'utilitat esperada. Playfair argumentava que, si el govern limitava els guanys potencials d'un projecte reeixit, descoratjaria la inversió en general, fent que l'economia nacional tingués un rendiment inferior.William Playfair, Increase of Manufactures, Commerce, and Finance, with the Extension of Civil Liberty, Proposed in Regulations for the Interest of Money. London: G.J. & J. Robinson.
Daniel Bernoulli va cridar l'atenció sobre els components psicològics i conductuals que hi ha darrere del procés de presa de decisions de l'individu i va proposar que la utilitat de la riquesa té una utilitat marginal decreixent. Per exemple, un dòlar addicional o un bé addicional es percep com a menys valuós a mesura que algú es fa més ric. En altres paraules, la desitjabilitat relacionada amb un guany financer depèn del guany en si i de la riquesa de la persona. Bernoulli va suggerir que les persones maximitzin l'"expectativa moral" en lloc del valor monetari esperat. Bernoulli va fer una distinció clara entre el valor esperat i la utilitat esperada. En lloc d'utilitzar els resultats ponderats, va utilitzar la utilitat ponderada multiplicada per probabilitats. Va demostrar que la funció d'utilitat utilitzada a la vida real és finita, fins i tot quan el seu valor esperat és infinit.
Enfocament teòric de Ramsey a la probabilitat subjectiva El 1926, Frank Ramsey va introduir el teorema de representació de Ramsey. Aquest teorema de representació per a la utilitat esperada assumeix que les preferències es defineixen sobre un conjunt d'apostes on cada opció té un rendiment diferent. Ramsey creia que sempre hauríem de prendre decisions per obtenir el millor resultat esperat d'acord amb les nostres preferències personals. Això implica que si podem entendre les prioritats i preferències d'un individu, podem anticipar les seves eleccions. En aquest model, va definir utilitats numèriques per a cada opció per explotar la riquesa de l'espai de preus. El resultat de cada preferència és exclusiu de les altres. Per exemple, si estudies, no pots veure els teus amics. Tanmateix, obtindràs una bona nota al teu curs. En aquest escenari, analitzem les preferències i creences personals i podrem predir quina opció podria triar una persona (per exemple, si algú prioritza la seva vida social per sobre dels resultats acadèmics, sortirà amb els seus amics). Suposant que les decisions d'una persona són racionals, segons aquest teorema, hauríem de poder conèixer les creences i utilitats d'una persona simplement mirant les eleccions que pren (cosa que és incorrecta). Ramsey defineix una proposició com a "èticament neutra" quan dos resultats possibles tenen el mateix valor. En altres paraules, si la probabilitat es pot definir com una preferència, cada proposició hauria de tenir ser indiferent entre ambdues opcions. Ramsey demostra que
Representació subjectiva de la utilitat esperada de Savage A la dècada del 1950, Leonard Jimmie Savage, un estadístic estatunidenc, va elaborar un marc per comprendre la utilitat esperada. El marc de Savage implicava demostrar que la utilitat esperada es podia utilitzar per fer una elecció òptima entre diversos actes mitjançant set axiomes. Al seu llibre, The Foundations of Statistics, Savage va integrar una explicació normativa de la presa de decisions sota risc (quan es coneixen les probabilitats) i sota incertesa (quan les probabilitats no es coneixen objectivament). Savage va concloure que les persones tenen actituds neutrals envers la incertesa i que l'observació és suficient per predir les probabilitats d'esdeveniments incerts. Un aspecte metodològic crucial del marc de Savage és el seu enfocament en les eleccions observables: els processos cognitius i altres aspectes psicològics de la presa de decisions només importen en la mesura que impacten directament en l'elecció.
La teoria de la utilitat esperada subjectiva combina dos conceptes: primer, una funció d'utilitat personal i, segon, una distribució de probabilitat personal (generalment basada en la teoria de la probabilitat bayesiana). Aquest model teòric ha estat conegut per la seva estructura clara i elegant i alguns investigadors el consideren "la teoria axiomàtica de la utilitat més brillant mai desenvolupada". En lloc d'assumir la probabilitat d'un esdeveniment, Savage la defineix en termes de preferències sobre els actes. Savage utilitzava els estats (quelcom que una persona no controla) per calcular la probabilitat d'un esdeveniment. D'altra banda, utilitzava la utilitat i les preferències intrínseques per predir el resultat de l'esdeveniment. Savage assumia que cada acte i estat eren suficients per determinar un resultat de manera única. Tanmateix, aquesta suposició es trenca en els casos en què un individu no té prou informació sobre l'esdeveniment.
A més, creia que els resultats havien de tenir la mateixa utilitat independentment de l'estat. Per tant, és essencial identificar correctament quina afirmació és un resultat. Per exemple, si algú diu: "He aconseguit la feina", aquesta afirmació no es considera un resultat, ja que la utilitat de l'afirmació serà diferent per a cada persona depenent de factors intrínsecs com la necessitat financera o el judici sobre l'empresa. Per tant, cap estat pot descartar la realització d'un acte. Només quan l'estat i l'acte s'avaluen simultàniament és possible determinar un resultat amb certesa.
Teorema de representació de Savage Teorema de representació de Savage (Savage, 1954): Una preferència < satisfà P1–P7 si i només si hi ha una mesura de probabilitat finitament additiva P i una funció u: C → R tal que per a cada parell d'actes f i g. f < g ⇐⇒ Z Ω u ( f ( ω )) dP ≥ Z Ω u ( g ( ω )) dP * Si i només si es compleixen tots els axiomes, es pot utilitzar la informació per reduir la incertesa sobre els esdeveniments que estan fora del seu control. A més, el teorema classifica el resultat segons una funció d'utilitat que reflecteix les preferències personals.
Els ingredients clau de la teoria de Savage són:
Estats: L'especificació de tots els aspectes del problema de decisió en qüestió o "Una descripció del món que no deixa cap aspecte rellevant sense descriure". Esdeveniments: Un conjunt d'estats identificats per algú Conseqüències: Una conseqüència descriu tot allò rellevant per a la utilitat de la persona que pren la decisió (per exemple, recompenses monetàries, factors psicològics, etc.) Actes: Un acte és una funció de valor finit que assigna estats a conseqüències.
Fórmula per a la utilitat esperada Quan l'entitat el valor del qual afecta la utilitat d'una persona pren un d'un conjunt de valors discrets, la fórmula per a la utilitat esperada, que se suposa que està maximitzada, és
on el costat esquerre és la valoració subjectiva de l'aposta en conjunt, és el i -èsim resultat possible, és la seva valoració, i és la seva probabilitat. Podria haver-hi un conjunt finit de valors possibles , en aquest cas el costat dret d'aquesta equació té un nombre finit de termes, o hi podria haver un conjunt infinit de valors discrets, en aquest cas el costat dret té un nombre infinit de termes.
Quan pot prendre qualsevol valor d'un interval continu, la utilitat esperada ve donada per
on és la funció de densitat de probabilitat de
L'equivalent de certesa, que és la quantitat fixa que faria que una persona fos indiferent a això en relació amb la distribució de resultats, ve donat per
Mesura del risc en el context de la utilitat esperada