La transformada de Fourier d'una funció del temps , és una funció de freqüència amb valors complexos, , sovint anomenat espectre de freqüències. Qualsevol operació lineal invariant en el temps sobre produeix un nou espectre de la forma , que canvia les magnituds o angles relatius (fase) dels valors diferents de zero de . Qualsevol altre tipus d'operació crea nous components de freqüència que es poden anomenar fuites espectrals en el sentit més ampli. El mostreig, per exemple, produeix fuites, que anomenem àlies del component espectral original. Per a la transformada de Fourier, el mostreig es modelitza com un producte entre i una funció de pinta de Dirac. L'espectre d'un producte és la convolució entre i una altra funció, que inevitablement crea els nous components de freqüència. Però el terme «fuita» normalment es refereix a l'efecte de finestra, que és el producte de amb un tipus de funció diferent, la funció finestra. Les funcions finestra tenen una durada finita, però això no cal per a crear fuites. La multiplicació per una funció variant en el temps és suficient.
Anàlisi espectral La transformada de Fourier de la funció és zero, excepte a la freqüència ± ω. Tanmateix, moltes altres funcions i formes d'ona no tenen transformades de forma tancada convenients. Alternativament, es podria estar interessat en el seu contingut espectral només durant un període de temps determinat. En qualsevol cas, la transformada de Fourier (o una transformada similar) es pot aplicar a un o més intervals finits de la forma d'ona. En general, la transformada s'aplica al producte de la forma d'ona i una funció de finestra. Qualsevol finestra (inclosa la rectangular) afecta l'estimació espectral calculada per aquest mètode.
Els efectes es caracteritzen més fàcilment pel seu efecte sobre una funció sinusoidal s(t), la transformada de Fourier sense finestra de la qual és zero per a totes les freqüències excepte una. La freqüència habitual d'elecció és 0. Hz, perquè la transformada de Fourier amb finestra és simplement la transformada de Fourier de la funció de finestra en si:
Quan s'apliquen tant el mostreig com el fenestrat a s(t), en qualsevol ordre, la fuita causada pel fenestrat és una dispersió relativament localitzada dels components de freqüència, sovint amb un efecte de desenfocament, mentre que l'aliàsing causat pel mostreig és una repetició periòdica de tot l'espectre borrós. miniatura|350x350px|Figura 1: Comparació de dues funcions de finestra pel que fa als seus efectes sobre sinusoides d'igual intensitat amb soroll additiu. La sinusoide del compartiment −20 no pateix fistonament i la del compartiment +20.5 presenta el pitjor dels casos de fistonament. La finestra rectangular produeix el major fistonament, però també pics més estrets i un soroll de fons més baix. Una tercera sinusoide amb una amplitud de −16 dB seria perceptible a l'espectre superior, però no a l'espectre inferior.
Elecció de la funció de la finestra La fusió en finestra d'una forma d'ona simple com ara fa que la seva transformada de Fourier desenvolupi valors diferents de zero (comunament anomenada fuita espectral) a freqüències diferents de ω. La fuita tendeix a ser pitjor (més alta) prop de ω i menor a les freqüències més allunyades de ω.
Si la forma d'ona en anàlisi comprèn dues sinusoides de freqüències diferents, les fuites poden interferir amb la nostra capacitat de distingir-les espectralment. Els possibles tipus d'interferència sovint es divideixen en dues classes oposades de la manera següent: si les freqüències dels components són diferents i un component és més feble, la fuita del component més fort pot ocultar la presència del més feble. Però si les freqüències són massa similars, la fuita pot fer que no es puguin resoldre fins i tot quan els sinusoides tenen la mateixa intensitat. Les finestres que són efectives contra el primer tipus d'interferència, és a dir, on els components tenen freqüències i amplituds diferents, s'anomenen alt rang dinàmic. Per contra, les finestres que poden distingir components amb freqüències i amplituds similars s'anomenen alta resolució.
La finestra rectangular és un exemple d'una finestra d'alta resolució però de baix rang dinàmic, és a dir, que és bona per distingir components d'amplitud similar fins i tot quan les freqüències també són properes, però deficient per distingir components d'amplitud diferent fins i tot quan les freqüències són lluny. Les finestres d'alta resolució i baix rang dinàmic, com ara la finestra rectangular, també tenen la propietat d'una alta sensibilitat, que és la capacitat de revelar sinusoides relativament febles en presència de soroll aleatori additiu. La raó és que el soroll produeix una resposta més forta amb finestres d'alt rang dinàmic que amb finestres d'alta resolució. miniatura|350x350px|Figura 2: L'afinació d'una sinusoide provoca fuites espectrals, fins i tot si la sinusoide té un nombre enter de cicles dins d'una finestra rectangular. La fuita és evident a la segona fila, traça blava. És la mateixa quantitat que la traça vermella, que representa una freqüència lleugerament més alta que no té un nombre enter de cicles. Quan es mostreja i es fenestra la sinusoide, la seva transformada de Fourier de temps discret també presenta el mateix patró de fuites (files 3 i 4). Però quan la DTFT només es mostreja de manera escassa, a un cert interval, és possible (segons el punt de vista): (1) evitar la fuita o (2) crear la il·lusió de no tenir fuites. En el cas de la DTFT sinusoidal blava (tercera fila de gràfics, costat dret), aquestes mostres són les sortides de la transformada discreta de Fourier (DFT). La DTFT sinusoidal vermella (quarta fila) té el mateix interval de passos per zero, però les mostres de DFT es troben entre elles i la fuita es revela. A l'altre extrem de la gamma de tipus de finestres hi ha les finestres amb un rang dinàmic alt però baixa resolució i sensibilitat. Les finestres d'alt rang dinàmic es justifiquen més sovint en aplicacions de banda ampla, on s'espera que l'espectre que s'analitza contingui molts components diferents de diverses amplituds.
Entre els extrems hi ha finestres moderades, com ara les de Hann i Hamming. S'utilitzen habitualment en aplicacions de banda estreta, com ara l'espectre d'un canal telefònic.
En resum, l'anàlisi espectral implica un compromís entre resoldre components de força comparables amb freqüències similars (alta resolució/sensibilitat) i resoldre components de força dispars amb freqüències diferents (alt rang dinàmic). Aquest compromís es produeix quan es tria la funció de finestra.
Senyals de temps discret Quan la forma d'ona d'entrada es mostreja en el temps, en lloc de ser contínua, l'anàlisi se sol fer aplicant una funció de finestra i després una transformada discreta de Fourier (DFT). Però la DFT només proporciona un mostreig dispers de l'espectre real de la transformada discreta de Fourier (DTFT). La figura 2, fila 3, mostra una DTFT per a una sinusoide de finestra rectangular. La freqüència real de la sinusoide s'indica com a "13" a l'eix horitzontal. Tota la resta són fuites, exagerades mitjançant l'ús d'una presentació logarítmica. La unitat de freqüència és "DFT bins"; és a dir, els valors enters a l'eix de freqüències corresponen a les freqüències mostrejades per la DFT. Així doncs, la figura representa un cas en què la freqüència real de la sinusoide coincideix amb una mostra DFT, i el valor màxim de l'espectre es mesura amb precisió amb aquesta mostra. A la fila 4, no arriba al valor màxim per bin, i l'error de mesura resultant es coneix com a pèrdua de fistonament (inspirada per la forma del pic). Per a una freqüència coneguda, com ara una nota musical o un senyal de prova sinusoidal, la coincidència de la freqüència amb un bin DFT es pot preorganitzar mitjançant opcions de freqüència de mostreig i longitud de finestra que donin com a resultat un nombre enter de cicles dins de la finestra. miniatura|407x407px|Figura 3: Aquesta figura compara les pèrdues de processament de tres funcions de finestra per a entrades sinusoïdals, amb pèrdues de fistonament mínimes i màximes.
Amplada de banda de soroll Els conceptes de resolució i rang dinàmic tendeixen a ser una mica subjectius, depenent del que l'usuari estigui intentant fer realment. Però també tendeixen a estar molt correlacionats amb la fuita total, que és quantificable. Normalment, s'expressa com una amplada de banda equivalent, B. Es pot considerar com una redistribució del DTFT en una forma rectangular amb una alçada igual al màxim espectral i una amplada B. Com més gran sigui la fuita, més gran serà l'amplada de banda. De vegades s'anomena amplada de banda equivalent al soroll o ample de banda de soroll equivalent, perquè és proporcional a la potència mitjana que registrarà cada compartiment DFT quan el senyal d'entrada contingui un component de soroll aleatori (o sigui simplement soroll aleatori). Un gràfic de l'espectre de potència, promediat al llarg del temps, normalment revela un soroll de fons pla, causat per aquest efecte. L'alçada del soroll de fons és proporcional a B. Per tant, dues funcions de finestra diferents poden produir sorolls de fons diferents, com es veu a les figures 1 i 3.
Processament de guanys i pèrdues En el processament de senyals, les operacions es trien per millorar algun aspecte de la qualitat d'un senyal explotant les diferències entre el senyal i les influències corruptores. Quan el senyal és una sinusoide corrompuda per soroll aleatori additiu, l'anàlisi espectral distribueix els components del senyal i del soroll de manera diferent, sovint facilitant la detecció de la presència del senyal o la mesura de certes característiques, com ara l'amplitud i la freqüència. Efectivament, la relació senyal-soroll (SNR) es millora distribuint el soroll uniformement, mentre es concentra la major part de l'energia de la sinusoide al voltant d'una freqüència. El guany de processament és un terme que s'utilitza sovint per descriure una millora de la SNR. El guany de processament de l'anàlisi espectral depèn de la funció de la finestra, tant de la seva amplada de banda de soroll (B) com de la seva possible pèrdua de fistonament. Aquests efectes es compensen parcialment, perquè les finestres amb menys fistonament tenen naturalment més fuites.
La figura 3 representa els efectes de tres funcions de finestra diferents sobre el mateix conjunt de dades, que comprenen dues sinusoides d'igual intensitat en soroll additiu. Les freqüències de les sinusoides es trien de manera que una no trobi cap fistonament i l'altra trobi un fistonament màxim. Ambdues sinusoides pateixen menys pèrdua de senyalització per soroll (SNR) sota la finestra de Hann que sota la finestra de Blackman-Harris. En general (com s'ha esmentat anteriorment), això és un impediment per utilitzar finestres d'alt rang dinàmic en aplicacions de baix rang dinàmic. miniatura|300x300px|Figura 4: Dues maneres diferents de generar una seqüència de finestres gaussiana de 8 punts ( σ = 0.4) per a aplicacions d'anàlisi espectral. MATLAB les anomena "simètriques" i "periòdiques". Aquesta última també s'anomena històricament DFT-parell.
Simetria Les fórmules proporcionades produeixen seqüències discretes, com si s'hagués "mostrejat" una funció de finestra contínua. (Vegeu un exemple a Kaiser window.) Les seqüències de finestra per a l'anàlisi espectral són simètriques o bé tenen una mostra menys que la simetria (anomenades periòdiques, DFT-parelles o DFT-simètriques ). Per exemple, una seqüència simètrica veritable, amb el seu màxim en un únic punt central, es genera mitjançant la funció hann(9,'symmetric') de MATLAB. Si se suprimeix l'última mostra, es produeix una seqüència idèntica a hann(8,'periodic'). De manera similar, la seqüència hann(8,'symmetric') té dos punts centrals iguals. miniatura|300x300px|Figura 5: Característiques de fuita espectral de les funcions de la Figura 4