Un quadrupol o quadripol és una de les configuracions d'una seqüència de coses com la càrrega elèctrica o el corrent, els camps magnètics o la massa gravitatòria que poden existir en forma ideal, però que normalment només formen part d'una expansió multipolar d'una estructura més complexa que reflecteix diversos ordres de complexitat.
Definició matemàtica El tensor de moment quadrupolar Q és una matriu tensorial de rang dos —3×3. Hi ha diverses definicions, però normalment s'expressa en la forma sense traça (és a dir, ). El tensor del moment quadrupolar té, doncs, nou components, però a causa de la simetria de transposició i la propietat de traça zero, en aquesta forma només cinc d'aquests són independents.
Per a un sistema discret de càrregues puntuals o masses en el cas d'un quadrupol gravitatori, cadascuna amb càrrega , o massa , i posició respecte a l'origen del sistema de coordenades, els components de la matriu Q es defineixen per:
Els índexs recórrer les coordenades cartesianes i és el delta de Kronecker. Això significa que ha de ser igual, fins al signe, a les distàncies des del punt fins a hiperplans mútuament perpendiculars perquè el delta de Kronecker sigui igual a 1.
En la forma no sense traça, el moment quadrupolar de vegades s'expressa com:
amb aquesta forma que s'utilitza en alguns aspectes de la literatura sobre el mètode multipolar ràpid. La conversió entre aquestes dues formes es pot aconseguir fàcilment mitjançant un operador de detraçament.
Per a un sistema continu amb densitat de càrrega, o densitat de massa, , les components de Q es defineixen per integral sobre l'espai cartesià r:
Com passa amb qualsevol moment multipolar, si un moment d'ordre inferior, monopol o dipol en aquest cas, és diferent de zero, aleshores el valor del moment quadrupolar depèn de l'elecció de l'origen de coordenades. Per exemple, un dipol de dues càrregues puntuals de signe oposat i la mateixa intensitat, que no té moment monopolar, pot tenir un moment quadrupolar diferent de zero si l'origen es desplaça lluny del centre de la configuració exactament entre les dues càrregues; o el moment quadrupolar es pot reduir a zero amb l'origen al centre. En canvi, si els moments monopolar i dipolar s'anul·len, però el moment quadrupolar no, per exemple, quatre càrregues de la mateixa intensitat, disposades en un quadrat, amb signes alterns, aleshores el moment quadrupolar és independent de les coordenades.
Si cada càrrega és la font d'una " camp "potencial", com el camp elèctric o gravitatori, la contribució al potencial del camp del moment quadrupolar és:
on R és un vector amb origen en el sistema de càrregues i R̂ és el vector unitari en la direcció de R. És a dir, per són les components cartesianes del vector unitari que apunta des de l'origen fins al punt de camp. Aquí, és una constant que depèn del tipus de camp i de les unitats que s'utilitzen.
Exemples miniatura|200x200px|Traçat de contorn de les superfícies equipotencials d'un camp quadrupolar elèctric
Quadrupol elèctric Un exemple senzill d'un quadrupol elèctric consisteix en càrregues positives i negatives alternes, disposades a les cantonades d'un quadrat. El moment monopolar —la càrrega total— d'aquesta disposició és zero. De la mateixa manera, el moment dipolar és zero, independentment de l'origen de coordenades que s'hagi triat. Una conseqüència d'això és que un quadrupol en un camp uniforme no experimenta ni una força neta ni un parell de cops net, tot i que pot experimentar una força o parell de cops net en un camp no uniforme depenent dels gradients de camp als diferents llocs de càrrega. A diferència dels moments monopolar i dipolar, el moment quadrupolar de la disposició del diagrama no es pot reduir a zero, independentment d'on situem l'origen de coordenades. El potencial elèctric d'un quadrupol de càrrega elèctrica ve donat per
on és la permitivitat elèctrica, i segueix la definició anterior.
Alternativament, altres fonts inclouen el factor de la meitat en el el mateix tensor, de manera que:
i
la qual cosa fa més explícita la connexió amb els polinomis de Legendre que resulten de l'expansió multipolar, concretament aquí
En els nuclis atòmics, el moment quadrupolar elèctric s'utilitza com a mesura de l'obliqüitat del nucli, amb el moment quadrupolar al nucli donat per on és la posició dins del nucli i dóna la densitat de càrrega a
Un camp elèctric construït amb quatre barres metàl·liques amb un voltatge aplicat forma la base de l'analitzador de masses quadrupolar, en què el camp elèctric separa els ions en funció de la seva relació massa-càrrega (m/z).
Quadrupol magnètic esquerra|miniatura|Bobines que produeixen un camp quadrupolar miniatura|Esquema d'un imant quadrupolar ("quatre pols") Totes les fonts magnètiques conegudes donen camps dipolars. Tanmateix, és possible fer un quadrupol magnètic col·locant quatre imants de barra idèntics perpendiculars entre si de manera que el pol nord d'un estigui al costat del sud de l'altre. Aquesta configuració cancel·la el moment dipolar i dóna un moment quadrupolar, i el seu camp disminuirà a grans distàncies més ràpidament que el d'un dipol.
A la dreta es mostra un exemple de quadrupol magnètic, que implica imants permanents. Els electroimants de disseny conceptual similar (anomenats imants quadrupolars) s'utilitzen habitualment per enfocar feixos de partícules carregades en acceleradors de partícules i línies de transport de feixos, un mètode conegut com a enfocament fort. Com que una configuració quadrupolar determinada desvia les partícules carregades en una direcció i les enfoca en una altra, mitjançant l'ús d'imants quadrupolars alterns es pot fer que un feix de partícules s'enfoqui en la direcció de desplaçament. Hi ha quatre puntes de pol d'acer, dos pols nord magnètics oposats i dos pols sud magnètics oposats. L'acer es magnetitza mitjançant un gran corrent elèctric que flueix a les bobines de tubs enrotllats al voltant dels pols.
Un moment quadrupolar magnètic canviant produeix radiació electromagnètica.
Quadrupol gravitacional El quadrupol de massa és anàleg al quadrupol de càrrega elèctrica, on la densitat de càrrega simplement es substitueix per la densitat de massa i s'afegeix un signe negatiu perquè les masses sempre són positives i la força és atractiva. El potencial gravitatori s'expressa llavors com: Per exemple, com que la Terra està girant, és achatada (aplanada als pols). Això li dóna un moment quadrupolar diferent de zero. Mentre que la contribució d'aquest quadrupol al camp gravitatori de la Terra és extremadament important per als satèl·lits artificials propers a la Terra, és menys important per a la Lluna perquè el termini cau ràpidament.
El moment quadrupolar de massa també és important en la relativitat general perquè, si canvia en el temps, pot produir radiació gravitatòria, similar a la radiació electromagnètica produïda pels dipols elèctrics o magnètics oscil·lants i els multipols superiors. Tanmateix, només el quadrupol i els moments superiors poden irradiar gravitatòriament. El monopol de massa representa l'energia de massa total en un sistema, que es conserva, per tant, no emet radiació. De la mateixa manera, el dipol de massa correspon al centre de massa d'un sistema i la seva primera derivada representa el moment, que també és una quantitat conservada, de manera que el dipol de massa tampoc emet radiació. El quadrupol de massa, però, pot canviar en el temps i és la contribució de menor ordre a la radiació gravitatòria. Com que només els moments multipolars de massa per sobre del moment dipolar poden contribuir a la radiació gravitatòria, la radiació gravitatòria és significativament més feble en magnitud que la radiació electromagnètica. La magnitud de la radiació gravitatòria, o ona gravitatòria, es pot descriure mitjançant la fórmula del quadrupol d'Einstein.
L'exemple més simple i important d'un sistema radiant és un parell de punts de massa amb masses iguals que orbiten mútuament en una òrbita circular, una aproximació, per exemple, al cas especial dels forats negres binaris. Com que el moment dipolar és constant, podem, per conveniència, col·locar l'origen de coordenades just entre els dos punts. Aleshores, el moment dipolar serà zero, i si també escalem les coordenades de manera que els punts estiguin a una distància unitària del centre, en direcció oposada, el moment quadrupolar del sistema serà simplement on M és la massa de cada punt, són components del vector de posició (unitari) d'un dels punts, i és el delta de Kronecker. A mesura que orbiten, aquest vector x girarà, la qual cosa significa que tindrà una primera derivada temporal diferent de zero i també una segona derivada temporal diferent de zero (això és cert independentment de l'elecció del sistema de coordenades). Per tant, el sistema irradiarà ones gravitacionals. L'energia perduda d'aquesta manera es va observar per primera vegada en el període canviant del binari Hulse-Taylor, un púlsar en òrbita amb una altra estrella de neutrons de massa similar.
De la mateixa manera que els multipols de càrrega elèctrica i corrent contribueixen al camp electromagnètic, els multipols de massa i massa-corrent contribueixen al camp gravitatori en la relativitat general, causant els anomenats efectes gravitomagnètics. Els multipols massa-corrent canviants també poden emetre radiació gravitatòria. Tanmateix, les contribucions dels multipols de corrent normalment seran molt menors que les del quadrupol de massa.
Generalització: multipols superiors Una generalització extrema ("octòpol puntual") seria: vuit càrregues puntuals alternes a les vuit cantonades d'un paral·lelepípede, per exemple, d'un cub amb una longitud d'aresta a. El "moment octopolar" d'aquesta disposició correspondria, en el "límit octopolar" a un tensor diagonal diferent de zero d'ordre tres. Multipols encara superiors, p. ex. d'ordre , s'obtindria mitjançant arranjaments dipolars (quadrupolars, octopolars,...) de dipols puntuals (quadrupols, octopols,...), no de monopols puntuals, d'ordre inferior, p. ex., .
Referències
Categoria:Electromagnetisme