miniatura|Funcions de densitat de probabilitat de les estadístiques d'ordre per a una mostra de mida n = 5 d'una distribució exponencial amb paràmetre d'escala unitària En estadística, l'estadística d'ordre k-èssim d'una mostra estadística és igual al seu valor k -èssim més petit. Donada una mostra de mida , l'estadística d'ordre k es denota per , amb Juntament amb les estadístiques de rang, les estadístiques d'ordre es troben entre les eines més fonamentals en estadística no paramètrica i inferència.
Casos especials importants de les estadístiques d'ordre són el valor mínim i màxim d'una mostra, i (amb algunes qualificacions que es discuteixen a continuació) la mediana mostral i altres quantils mostrals.
Quan s'utilitza la teoria de la probabilitat per analitzar estadístiques d'ordre de mostres aleatòries d'una distribució contínua, s'utilitza la funció de distribució acumulativa per reduir l'anàlisi al cas de les estadístiques d'ordre de la distribució uniforme.
Notació i exemples Per exemple, suposem que s'observen o s'enregistren quatre nombres, donant com a resultat una mostra de mida 4. Si els valors de la mostra són
6, 9, 3, 7
les estadístiques de comandes serien
L'estadística de primer ordre (o estadística d'ordre més petit) és sempre el mínim de la mostra, és a dir,
on, seguint una convenció comuna, fem servir majúscules per referir-nos a variables aleatòries i minúscules (com s'ha indicat anteriorment) per referir-nos als seus valors reals observats.
De la mateixa manera, per a una mostra de mida , l'estadística d'ordre -èsim (o estadística d'ordre més gran) és el màxim, és a dir,
El rang de mostra és la diferència entre el màxim i el mínim. És una funció de les estadístiques d'ordre:
Una estadística important similar en l'anàlisi exploratòria de dades que està simplement relacionada amb les estadístiques d'ordre és el rang interquartílic mostral.
La mediana mostral pot ser o no una estadística d'ordre, ja que només hi ha un únic valor intermedi quan el nombre d'observacions és senar. Més precisament, si per a algun enter , aleshores la mediana mostral és i també ho és una estadística d'ordre. D'altra banda, quan és parell, i hi ha dos valors intermedis, i , i la mediana de la mostra és una funció de les dues (normalment la mitjana) i, per tant, no és una estadística d'ordre. Observacions similars s'apliquen a tots els quantils de la mostra.
Anàlisi probabilística Donades qualsevol variable aleatòria , les variables aleatòries es defineixen per ordenació en ordre creixent.
El cas en què les variables aleatòries són independents i distribuïts idènticament es tracta a continuació. En general, poden sorgir mitjançant un mostreig de més d'una població. Aleshores considerem el cas en què són independents, però no necessàriament distribuïdes idènticament, i la seva distribució de probabilitat conjunta ve donada pel teorema de Bapat-Beg.
A partir d'ara, assumirem que les variables aleatòries considerades són contínues i, on sigui convenient, també assumirem que tenen una funció de densitat de probabilitat (PDF), és a dir, que són absolutament contínues. Les peculiaritats de l'anàlisi de distribucions que assignen massa a punts (en particular, distribucions discretes) es discuteixen al final.
Funció de distribució acumulativa de les estadístiques de comandes Per a una mostra aleatòria com l'anterior, amb distribució acumulativa , les estadístiques d'ordre per a aquesta mostra tenen distribucions acumulatives de la següent manera (on r especifica quina estadística d'ordre):
La demostració d'aquesta fórmula és combinatòria pura: per a la
estadística d'ordre. , el nombre de mostres que són ha d'estar entre i En el cas que és l'estadística d'ordre més gran , hi ha d'haver mostres (cadascun amb una probabilitat independent de ) i mostres (cadascun amb una probabilitat independent de ). Finalment hi ha diferents maneres de triar quin dels les mostres són de amable.
La funció de densitat de probabilitat corresponent es pot derivar d'aquest resultat, i es troba que és
A més, hi ha dos casos especials, que tenen CDF fàcils de calcular.
Que es pot derivar d'una acurada consideració de les probabilitats.
Distribucions de probabilitat d'estadístiques d'ordre Estadístiques d'ordenació mostrejades a partir d'una distribució uniforme En aquesta secció mostrem que les estadístiques d'ordre de la distribució uniforme en l'interval unitari tenen distribucions marginals que pertanyen a la família de distribucions beta. També donem un mètode senzill per derivar la distribució conjunta de qualsevol nombre d'estadístiques d'ordre i, finalment, traduïm aquests resultats a distribucions contínues arbitràries utilitzant la funció cdf.
Suposem al llarg d'aquesta secció que són mostres aleatòries extretes d'una distribució contínua amb cdf . Denotació obtenim la mostra aleatòria corresponent de la distribució uniforme estàndard. Cal tenir en compte que les estadístiques d'ordre també satisfan .
La funció de densitat de probabilitat de l'estadística d'ordre és igual a.
és a dir, l'estadística d'ordre k de la distribució uniforme és una variable aleatòria amb distribució beta.
La prova d'aquestes afirmacions és la següent. Per a estar entre tu i tu + du, cal que exactament k − 1 element de la mostra és més petit que u, i que almenys un està entre u i u + d u. La probabilitat que més d'un estigui en aquest darrer interval ja és , per tant hem de calcular la probabilitat que exactament k − 1, 1 i n − k observacions cauen en els intervals , i respectivament. Això és igual a (vegeu la distribució multinomial per a més detalls)
i el resultat segueix.
La mitjana d'aquesta distribució és k / ( n + 1).
La distribució conjunta de les estadístiques d'ordre de la distribució uniforme De la mateixa manera, per a i < j, la funció de densitat de probabilitat conjunta dels dos estadístics d'ordre U ( i ) < Es pot demostrar que U ( j ) és
que és (fins a termes d'ordre superior a ) la probabilitat que i − 1, 1, j − 1 − i, 1 i n − els j elements de la mostra cauen en els intervals , , , , respectivament.
Un raonament és completament anàleg per derivar les distribucions conjuntes d'ordre superior. Potser sorprenentment, la densitat conjunta de les estadístiques d'ordre n resulta ser constant :
Una manera d'entendre això és que la mostra no ordenada té una densitat constant igual a 1, i que hi ha n ! permutacions diferents de la mostra corresponents a la mateixa seqüència d'estadístiques d'ordre. Això està relacionat amb el fet que 1/ n ! és el volum de la regió . També està relacionat amb una altra particularitat de les estadístiques d'ordre de variables aleatòries uniformes: De la desigualtat BRS es desprèn que el nombre màxim esperat de variables aleatòries uniformes U(0,1] que es poden triar d'una mostra de mida n amb una suma que no excedeixi està delimitat superiorment per , que per tant és invariant en el conjunt de tots amb producte constant .
Utilitzant les fórmules anteriors, es pot derivar la distribució del rang de les estadístiques d'ordre, és a dir, la distribució de , és a dir, el màxim menys el mínim. Més generalment, per a , també té una distribució beta: A partir d'aquestes fórmules podem derivar la covariància entre dos estadístics d'ordre: La fórmula es desprèn de notar que i comparant això amb on , que és la distribució real de la diferència.
Estadístiques d'ordenació mostrejades a partir d'una distribució exponencial Per a una mostra aleatòria de mida n a partir d'una distribució exponencial amb paràmetre λ, els estadístics d'ordre X ( i ) per a i = 1, 2, 3,..., n tenen cadascun distribució
on les Zj són variables aleatòries exponencials estàndard iid (és a dir, amb paràmetre de taxa 1). Aquest resultat va ser publicat per primera vegada per Alfréd Rényi.
Estadístiques d'ordre mostrejades a partir d'una distribució d'Erlang La transformada de Laplace de les estadístiques d'ordre es pot mostrejar a partir d'una distribució d'Erlang mitjançant un mètode de recompte de camins.
La distribució conjunta dels estadístics d'ordre d'una distribució absolutament contínua Si F X és absolutament contínua, té una densitat tal que , i podem utilitzar les substitucions
i
per derivar les funcions de densitat de probabilitat següents per a les estadístiques d'ordre d'una mostra de mida n extreta de la distribució de X :
on
on
Aplicació: intervals de confiança per a quantils Una qüestió interessant és com de bé funcionen les estadístiques d'ordre com a estimadors dels quantils de la distribució subjacent.
Un exemple de mostra petita El cas més simple a considerar és com de bé la mediana de la mostra estima la mediana de la població.
Com a exemple, considerem una mostra aleatòria de mida 6. En aquest cas, la mediana de la mostra se sol definir com el punt mig de l'interval delimitat pels estadístics de 3r i 4t ordre. Tanmateix, sabem per la discussió anterior que la probabilitat que aquest interval contingui realment la mediana de la població és
Tot i que la mediana de la mostra és probablement una de les millors estimacions puntuals independents de la distribució de la mediana de la població, el que il·lustra aquest exemple és que no és particularment bona en termes absoluts. En aquest cas concret, un millor interval de confiança per a la mediana és el delimitat pels estadístics de segon i cinquè ordre, que conté la mediana de la població amb probabilitat
Amb una mida de mostra tan petita, si es vol una confiança del 95% com a mínim, es redueix a dir que la mediana es troba entre el mínim i el màxim de les 6 observacions amb una probabilitat de 31/32 o aproximadament el 97%. La mida 6 és, de fet, la mida de mostra més petita tal que l'interval determinat pel mínim i el màxim és un interval de confiança del 95% com a mínim per a la mediana de la població.
Grans mides de mostra Per a la distribució uniforme, com que n tendeix a infinit, el p-èssim quantil de mostra té una distribució asimptòticament normal, ja que s'aproxima per
Per a una distribució general F amb una densitat contínua diferent de zero a F−1(p), s'aplica una normalitat asimptòtica similar:
on f és la funció de densitat, i F−1 és la funció quantil associada amb F. Una de les primeres persones a esmentar i demostrar aquest resultat va ser Frederick Mosteller en el seu article seminal el 1946. Investigacions posteriors van conduir a la dècada de 1960 a la representació de Bahadur que proporciona informació sobre els límits d'error. La convergència cap a la distribució normal també es compleix en un sentit més fort, com ara la convergència en l'entropia relativa o la divergència de KL.M. Cardone, A. Dytso and C. Rush, "Entropic Central Limit Theorem for Order Statistics," in IEEE Transactions on Information Theory, vol. 69, no. 4, p. 2193-2205, April 2023, doi: 10.1109/TIT.2022.3219344.
Es pot fer una observació interessant en el cas on la distribució és simètrica i la mediana de la població és igual a la mitjana de la població. En aquest cas, la mitjana mostral, pel teorema del límit central, també té una distribució asimptòticament normal, però amb una variància σ²/n. Aquesta anàlisi asimptòtica suggereix que la mitjana supera la mediana en casos de curtosi baixa, i viceversa. Per exemple, la mediana aconsegueix millors intervals de confiança per a la distribució de Laplace, mentre que la mitjana té un millor rendiment per a X que tenen una distribució normal.
Informació mútua d'estadístiques de comandes