La teoria de Chern-Simons és una teoria quàntica de camps topològica tridimensional de tipus Schwarz. Va ser descoberta per primera vegada pel físic matemàtic Albert Schwarz. Rep el nom dels matemàtics Shiing-Shen Chern i James Harris Simons, que van introduir la 3-forma de Chern-Simons. En la teoria de Chern-Simons, l'acció és proporcional a la integral de la 3-forma de Chern-Simons.
En física de la matèria condensada, la teoria de Chern-Simons descriu fermions compostos i l'ordre topològic en estats d'efecte Hall quàntic fraccionari. En matemàtiques, s'ha utilitzat per calcular invariants de nusos i invariants de tres varietats com el polinomi de Jones.
Particularment, la teoria de Chern-Simons s'especifica mitjançant una elecció d'un grup de Lie simple G conegut com a grup de gauge de la teoria i també un nombre anomenat nivell de la teoria, que és una constant que multiplica l'acció. L'acció depèn del gauge, però la funció de partició de la teoria quàntica està ben definida quan el nivell és un nombre enter i la intensitat del camp de gauge s'anul·la en tots els límits de l'espai-temps tridimensional.
També és l'objecte matemàtic central en els models teòrics per a ordinadors quàntics topològics (TQC). Concretament, una teoria SU(2) de Chern-Simons descriu el model aniònic no abelià més simple d'un TQC, el model Yang-Lee-Fibonacci.
La dinàmica de la teoria de Chern-Simons sobre la frontera bidimensional d'una varietat tridimensional està estretament relacionada amb les regles de fusió i els blocs conformals en la teoria de camps conformal, i en particular la teoria WZW.
La teoria clàssica Origen matemàtic A la dècada del 1940, SS Chern i A. Weil van estudiar les propietats de curvatura global de varietats llises M com a cohomologia de de Rham (teoria de Chern-Weil), que és un pas important en la teoria de classes característiques en geometria diferencial. Donat un fibrat G-principal pla P sobre M, existeix un homomorfisme únic, anomenat homomorfisme de Chern-Weil, des de l'àlgebra de polinomis invariants G -adjunts de g (l'àlgebra de Lie de G) fins a la cohomologia Si el polinomi invariant és homogeni, es pot escriure concretament qualsevol k -forma de la connexió tancada ω com alguna 2- k -forma de la forma de curvatura associada Ω de ω.
El 1974, els SS Chern i JH Simons havien construït amb formigó un (2k−1)-forma df(ω) tal que
on T és l'homomorfisme de Chern-Weil. Aquesta forma s'anomena forma de Chern-Simons. Si df(ω) és tancada, es pot integrar la fórmula anterior
on C és un (2 k−Cicle 1)-dimensional sobre M. Aquest invariant s'anomena invariant de Chern-Simons. Com s'assenyala a la introducció de l'article de Chern-Simons, l'invariant de Chern-Simons CS(M) és el terme de frontera que no es pot determinar mitjançant cap formulació combinatòria pura. També es pot definir com
on és el primer nombre de Pontryagin i s(M) és la secció del fibrat ortogonal normal P. A més, el terme de Chern-Simons es descriu com l'invariant eta definit per Atiyah, Patodi i Singer.
La invariància de gauge i la invariància mètrica es poden veure com la invariància sota l'acció del grup de Lie adjunt en la teoria de Chern-Weil. La integral d'acció (integral de camí) de la teoria de camps en física es veu com la integral lagrangiana de la forma de Chern-Simons i el bucle de Wilson, holonomia del fibrat vectorial sobre M. Això explica per què la teoria de Chern-Simons està estretament relacionada amb la teoria topològica de camps.
Configuracions Les teories de Chern-Simons es poden definir en qualsevol varietat topològica de 3 varietats M, amb o sense frontera. Com que aquestes teories són teories topològiques de tipus Schwarz, no cal introduir cap mètrica a M.
La teoria de Chern-Simons és una teoria de gauge, la qual cosa significa que una configuració clàssica de la teoria de Chern-Simons sobre M amb grup de gauge G es descriu mitjançant un G-fibrat principal sobre M. La connexió d'aquest fibrat es caracteritza per una connexió uniforma A que es valora a l'àlgebra de Lie g del grup de Lie G. En general, la connexió A només es defineix en pedaços de coordenades individuals, i els valors d' A en diferents pedaços es relacionen mitjançant mapes coneguts com a transformacions de gauge. Aquests es caracteritzen per l'afirmació que la derivada covariant, que és la suma de l'operador derivatiu exterior d i la connexió A, es transforma en la representació adjunta del grup de gauge G. El quadrat de la derivada covariant amb si mateixa es pot interpretar com una 2-forma F amb valor g anomenada forma de curvatura o intensitat de camp. També es transforma en la representació adjunta.
Dinàmica L'acció S de la teoria de Chern-Simons és proporcional a la integral de la 3-forma de Chern-Simons
La constant k s'anomena nivell de la teoria. La física clàssica de la teoria de Chern-Simons és independent de l'elecció del nivell k.
Clàssicament, el sistema es caracteritza per les seves equacions de moviment, que són els extrems de l'acció respecte a les variacions del camp A. En termes de la curvatura del camp
l'equació de camp és explícitament
Per tant, les equacions clàssiques del moviment es satisfan si i només si la curvatura s'anul·la a tot arreu, en aquest cas es diu que la connexió és plana. Així, les solucions clàssiques de la teoria G de Chern-Simons són les connexions planes dels G -fibres principals sobre M. Les connexions planes estan determinades completament per holonomies al voltant de cicles no contractibles sobre la base M. Més precisament, estan en correspondència biunívoca amb classes d'equivalència d'homomorfismes des del grup fonamental de M fins al grup de gauge G fins a la conjugació.
Si M té una vora N, aleshores hi ha dades addicionals que descriuen una elecció de trivialització del G -fibrat principal sobre N. Aquesta elecció caracteritza un mapa de N a G. La dinàmica d'aquest mapa es descriu mitjançant el model Wess-Zumino-Witten (WZW) sobre N al nivell k.
Quantificació Per quantificar canònicament la teoria de Chern-Simons es defineix un estat a cada superfície bidimensional Σ en M. Com en qualsevol teoria quàntica de camps, els estats corresponen a raigs en un espai de Hilbert. No hi ha cap noció preferida de temps en una teoria topològica de camps de tipus Schwarz, per la qual cosa es pot exigir que Σ sigui una superfície de Cauchy; de fet, es pot definir un estat a qualsevol superfície.
Σ és de codimensió u, i per tant es pot tallar M al llarg de Σ. Després d'aquest tall, M serà una varietat amb vora i, en particular, clàssicament, la dinàmica de Σ es descriurà mitjançant un model WZW. Witten ha demostrat que aquesta correspondència es compleix fins i tot en la mecànica quàntica. Més precisament, va demostrar que l'espai d'estats de Hilbert sempre és de dimensió finita i es pot identificar canònicament amb l'espai de blocs conformes del model G WZW al nivell k.
Per exemple, quan Σ és una 2-esfera, aquest espai de Hilbert és unidimensional i, per tant, només hi ha un estat. Quan Σ és un 2-tor, els estats corresponen a les representacions integrables de l'àlgebra de Lie afí corresponent a g al nivell k. Les caracteritzacions dels blocs conformes en gèneres superiors no són necessàries per a la solució de Witten de la teoria de Chern-Simons.
Observables Bucles de Wilson Els observables de la teoria de Chern-Simons són les funcions de correlació de n punts dels operadors invariants de gauge. La classe d'operadors invariants de gauge que s'estudia més sovint són els bucles de Wilson. Un bucle de Wilson és l'holonomia al voltant d'un bucle a M, traçada en una representació donada R de G. Com que ens interessaran els productes dels bucles de Wilson, sense pèrdua de generalitat podem restringir la nostra atenció a les representacions irreductibles R.
Més concretament, donada una representació irreductible R i un bucle K a M, es pot definir el bucle de Wilson per
on A és la forma 1 de la connexió i prenem el valor principal de Cauchy de la integral de contorn i és l'exponencial ordenada per camins.
Polinomis d'HOMFLY i Jones Considerem un enllaç L a M, que és una col·lecció de bucles disjunts ℓ. Un observable particularment interessant és la funció de correlació de punts ℓ formada a partir del producte dels bucles de Wilson al voltant de cada bucle disjunt, cadascun traçat a la representació fonamental de G. Es pot formar una funció de correlació normalitzada dividint aquest observable per la funció de partició Z ( M ), que és simplement la funció de correlació de punts 0.
En el cas especial en què M és la 3-esfera, Witten ha demostrat que aquestes funcions de correlació normalitzades són proporcionals als polinomis de nusos coneguts. Per exemple, a G = U ( N) Teoria de Chern-Simons al nivell k la funció de correlació normalitzada és, fins a una fase, igual a
vegades el polinomi HOMFLY. En particular quan N = 2 el polinomi HOMFLY es redueix al polinomi de Jones. En el cas SO( N ), es troba una expressió similar amb el polinomi de Kauffman.
L'ambigüitat de fase reflecteix el fet que, com ha demostrat Witten, les funcions de correlació quàntica no estan completament definides per les dades clàssiques. El nombre d'enllaç d'un bucle amb si mateix entra en el càlcul de la funció de partició, però aquest nombre no és invariant sota petites deformacions i, en particular, no és un invariant topològic. Aquest nombre es pot definir bé si es tria un marc per a cada bucle, que és una elecció d'un vector normal diferent de zero preferit a cada punt al llarg del qual es deforma el bucle per calcular el seu nombre d'autoenllaç. Aquest procediment és un exemple del procediment de regularització per divisió de punts introduït per Paul Dirac i Rudolf Peierls per definir quantitats aparentment divergents en la teoria quàntica de camps el 1934.
Sir Michael Atiyah ha demostrat que existeix una elecció canònica de 2-framing, que s'utilitza generalment a la literatura actual i condueix a un nombre d'enllaç ben definit. Amb el framing canònic, la fase anterior és l'exponencial de 2π i /(k+N) multiplicat pel nombre d'enllaç de L amb si mateix.
Problema (Extensió del polinomi de Jones a varietats 3-generals)
"El polinomi de Jones original es va definir per a 1-enllaços a la 3-esfera (la 3-bola, l'R3 de 3 espais). Pots definir el polinomi de Jones per a 1-enllaços en qualsevol 3-varietat?"
Vegeu la secció 1.1 d'aquest article per als antecedents i la història d'aquest problema. Kauffman va presentar una solució en el cas de la varietat producte de superfície orientada tancada i l'interval tancat, introduint 1-nusos virtuals. És oberta en els altres casos. La integral de camí de Witten per al polinomi de Jones s'escriu formalment per a enllaços en qualsevol varietat 3 compacta, però el càlcul no es fa ni tan sols a nivell de física en cap cas que no sigui la 3-esfera (la 3-bola, el 3-espai R3 ). Aquest problema també és obert a nivell de física. En el cas del polinomi d'Alexander, aquest problema està resolt.
Referències
Categoria:Mecànica quàntica