En teoria de la probabilitat i estadística, un moment central és un moment d'una distribució de probabilitat d'una variable aleatòria al voltant de la mitjana de la variable aleatòria; és a dir, és el valor esperat d'una potència entera especificada de la desviació de la variable aleatòria respecte a la mitjana. Els diversos moments formen un conjunt de valors pels quals es poden caracteritzar de manera útil les propietats d'una distribució de probabilitat. Els moments centrals s'utilitzen amb preferència als moments ordinaris, calculats en termes de desviacions respecte a la mitjana en lloc de respecte a zero, perquè els moments centrals d'ordre superior només es relacionen amb la dispersió i la forma de la distribució, en lloc de també amb la seva ubicació.

Es poden definir conjunts de moments centrals tant per a distribucions univariants com multivariants.

Moments univariants El moment -èsim al voltant de la mitjana (o moment central -èsim) d'una variable aleatòria real és la quantitat , on E és l'operador d'esperança. Per a una distribució de probabilitat univariant contínua amb funció de densitat de probabilitat , el moment -èsim al voltant de la mitjana és Per a variables aleatòries que no tenen mitjana, com ara la distribució de Cauchy, els moments centrals no estan definits.

Els primers moments centrals tenen interpretacions intuïtives:

El moment central "zero" és 1. El primer moment central és 0 (no s'ha de confondre amb el primer moment brut ni amb el valor esperat ). El segon moment s'anomena variància i normalment es denota , on representa la desviació estàndard. El tercer i quart moments centrals s'utilitzen per definir els moments estandarditzats, que s'utilitzen per definir l'asimetria i la curtosi, respectivament.

Propietats Per a tot , el moment central -èsim és homogeni de grau :

Només per tal que n és igual a 1, 2 o 3 tenim una propietat d'aditivitat per a variables aleatòries i que són independents:

sempre que n ∈ .

Un funcional relacionat que comparteix les propietats d'invariància de translació i homogeneïtat amb el moment central -èsim, però continua tenint aquesta propietat d'aditivitat fins i tot quan és el cumulant -èsim . Per a , el cumulant -èsim és només el valor esperat; per a  = 2 o 3, el cumulant -èsim és simplement el moment central -èsim; per , el cumulant -èsim és un polinomi mònic de grau -èsim en els primers moments (aproximadament zero), i també és un polinomi de grau -èsim (més simple) en els primers moments centrals.

Relació amb moments sobre l'origen De vegades és convenient convertir moments al voltant de l'origen en moments al voltant de la mitjana. L'equació general per convertir el moment d'ordre al voltant de l'origen en el moment al voltant de la mitjana és

on és la mitjana de la distribució i el moment respecte a l'origen ve donat per

Per als casos —que són els més interessants per les relacions amb la variància, l'asimetria i la curtosi, respectivament—, aquesta fórmula esdevé (tenint en compte que

i ):

que comunament es coneix com a

... i així successivament, seguint el triangle de Pascal, és a dir

perquè

La suma següent és una variable estocàstica que té una distribució composta

on el són variables aleatòries mútuament independents que comparteixen la mateixa distribució comuna i una variable entera aleatòria independent de la amb la seva pròpia distribució. Els moments de s'obtenen com a

on es defineix com a zero per a .

Distribucions simètriques En distribucions que són simètriques respecte a les seves mitjanes (no afectades per ser reflectides respecte a la mitjana), tots els moments centrals imparells són iguals a zero sempre que existeixen, perquè a la fórmula per al moment -èsim, cada terme que implica un valor de inferior a la mitjana per una certa quantitat cancel·la exactament el terme que implica un valor de superior a la mitjana per la mateixa quantitat.

Moments multivariants Per a una distribució de probabilitat bivariant contínua amb funció de densitat de probabilitat el moment al voltant de la mitjana és

Moment central de variables aleatòries complexes El moment central -èsim per a una variable aleatòria complexa es defineix comEl moment central absolut -èsim de es defineix comEl moment central de segon s'anomena variància de mentre que el moment central de segon és la pseudovariància de .

Referències

Categoria:Probabilitat Categoria:Estadística