La teoria gauge de la gravetat (GTG) és una teoria de la gravitació expressada en el llenguatge matemàtic de l'àlgebra geomètrica. Per a aquells familiaritzats amb la relativitat general, recorda molt el formalisme de la tètrada, tot i que hi ha diferències conceptuals significatives. El més destacable és que el fons a GTG és pla, l'espai-temps de Minkowski. El principi d'equivalència no s'assumeix, sinó que es dedueix del fet que la derivada covariant de gauge està mínimament acoblada. Com en la relativitat general, les equacions estructuralment idèntiques a les equacions de camp d'Einstein són derivables d'un principi variacional. Un tensor d'espín també es pot suportar d'una manera similar a la teoria d'Einstein-Cartan-Sciama-Kibble. La GTG va ser proposada per primera vegada per Lasenby, Doran i Gull el 1998 com a compliment de resultats parcials presentats el 1993. La teoria no ha estat àmpliament adoptada per la resta de la comunitat física, que ha optat principalment per enfocaments de geometria diferencial com el de la teoria de la gravitació gauge relacionada.

Fonamentació matemàtica Els fonaments de GTG prové de dos principis. En primer lloc, la invariància del gauge de posició exigeix que els desplaçaments locals arbitraris dels camps no afectin el contingut físic de les equacions de camp. En segon lloc, la invariància del gauge de rotació exigeix que les rotacions locals arbitràries dels camps no afectin el contingut físic de les equacions de camp. Aquests principis condueixen a la introducció d'un nou parell de funcions lineals, el camp de calibre de posició i el camp de calibre de rotació. Un desplaçament per alguna funció arbitrària f

dóna lloc al camp de posició-gauge definit per la correspondència al seu adjunt,

que és lineal en el seu primer argument i a és un vector constant. De la mateixa manera, una rotació d'algun rotor arbitrari R dóna lloc al camp de rotació-gauge

Podem definir dues derivades direccionals covariants diferents

o amb l'especificació d'un sistema de coordenades

on × denota el producte del commutador.

La primera d'aquestes derivades és més adequada per tractar directament amb espinors, mentre que la segona és més adequada per a observables. L'anàleg GTG del tensor de Riemann es construeix a partir de les regles de commutació d'aquestes derivades.

Equacions de camp Les equacions de camp es deriven postulant que l'acció d'Einstein-Hilbert governa l'evolució dels camps de gauge, és a dir,

Minimitzar la variació de l'acció respecte als dos camps de gauge dóna com a resultat les equacions de camp

on és el tensor covariant d'energia-moment i és el tensor d'espín covariant. És important destacar que aquestes equacions no donen una curvatura evolutiva de l'espai-temps, sinó que simplement donen l'evolució dels camps de gauge dins de l'espai-temps pla.

Relació amb la relativitat general Per a aquells més familiaritzats amb la relativitat general, és possible definir un tensor mètric a partir del camp de posició-gauge de manera similar a les tètrades. En el formalisme de la tètrada, un conjunt de quatre vectors s'introdueixen. L'índex grec μ s'eleva o es redueix multiplicant i contraient-se amb el tensor mètric de l'espai-temps. L'índex llatí entre parèntesis (a) és una etiqueta per a cadascuna de les quatre tetràdes, que s'eleva i es redueix com si es multipliqués i es contragués amb un tensor mètric de Minkowski separat. GTG, aproximadament, inverteix els papers d'aquests índexs. S'assumeix implícitament que la mètrica és Minkowski en la selecció de l'àlgebra espai-temps. La informació continguda en l'altre conjunt d'índexs queda subsumida pel comportament dels camps de gauge.

Podem fer les associacions

per a un vector covariant i un vector contravariant en un espai-temps corbat, on ara els vectors unitaris són la base de coordenades escollida. Aquests poden definir la mètrica utilitzant la regla

Seguint aquest procediment, és possible demostrar que, en la seva major part, les prediccions observables de GTG coincideixen amb la teoria d'Einstein-Cartan-Sciama-Kibble per a un espín no nul·la i es redueixen a la relativitat general per a un espín nul·la. GTG, però, fa prediccions diferents sobre les solucions globals. Per exemple, en l'estudi d'una massa puntual, l'elecció d'un "gauge newtonià" dóna una solució similar a la mètrica de Schwarzschild en coordenades de Gullstrand-Painlevé. La relativitat general permet una extensió coneguda com a coordenades de Kruskal-Szekeres. GTG, en canvi, prohibeix qualsevol extensió d'aquest tipus.

Referències

Categoria:Teoria de la gravitació