En mecànica quàntica, el valor esperat és l'esperença matemàtica probabilística del resultat (mesura) d'un experiment. Es pot considerar com una mitjana de tots els resultats possibles d'una mesura ponderats per la seva probabilitat, i com a tal no és el valor més probable d'una mesura; de fet, el valor esperat pot tenir una probabilitat zero de produir-se (per exemple, les mesures que només poden donar valors enters poden tenir una mitjana no entera), com el valor esperat de les estadístiques. És un concepte fonamental en totes les àrees de la física quàntica.
Definició operativa Considereu un operador . El valor esperat és llavors en notació de Dirac amb un vector d'estat normalitzat.
Formalisme en mecànica quàntica En teoria quàntica, un muntatge experimental es descriu mitjançant l'observable a mesurar, i l'estat del sistema. El valor esperat de a l'estat es denota com .
Matemàticament, és un operador autoadjunt en un espai de Hilbert complex separable. En el cas més utilitzat en mecànica quàntica, és un estat pur, descrit per un vector normalitzat en l'espai de Hilbert. El valor esperat de a l'estat es defineix com
(1)
Si es considera la dinàmica, o bé el vector o l'operador es considera que depèn del temps, depenent de si s'utilitza la imatge de Schrödinger o la de Heisenberg. Tanmateix, l'evolució del valor esperat no depèn d'aquesta elecció.
Si té un conjunt complet d'autovectors , amb valors propis de manera que aleshores () es pot expressar com a (2)
Aquesta expressió és similar a la mitjana aritmètica i il·lustra el significat físic del formalisme matemàtic: els valors propis són els possibles resultats de l'experiment, i el seu coeficient corresponent és la probabilitat que aquest resultat es produeixi; sovint s'anomena probabilitat de transició.
Un cas particularment senzill es presenta quan és una projecció i, per tant, només té els valors propis 0 i 1. Això correspon físicament a un experiment de tipus "sí-no". En aquest cas, el valor esperat és la probabilitat que l'experiment doni com a resultat "1", i es pot calcular com
(3)
En teoria quàntica, també és possible que un operador tingui un espectre no discret, com ara l' operador de posició en mecànica quàntica. Aquest operador té un espectre completament continu, amb valors propis i vectors propis que depenen d'un paràmetre continu, . Concretament, l'operador actua sobre un vector espacial com En aquest cas, el vector es pot escriure com una funció de valors complexos en l'espectre de (normalment la línia real). Això s'aconsegueix formalment projectant el vector d'estat sobre els valors propis de l'operador, com en el cas discret . Succeeix que els vectors propis de l'operador de posició formen una base completa per a l' espai vectorial d'estats i, per tant, obeeixen una relació de completesa en mecànica quàntica:
L'anterior es pot utilitzar per derivar l'expressió integral comuna per al valor esperat (), inserint identitats a l'expressió vectorial del valor esperat i després expandint-les a la base de posició:
On la relació d'ortonormalitat dels vectors de la base de posició , redueix la integral doble a una integral simple. L'última línia utilitza el mòdul d'una funció amb valors complexos per substituir amb , que és una substitució comuna en les integrals de mecànica quàntica.
El valor esperat es pot expressar llavors, on no té límits, com la fórmula
(4)
Una fórmula similar s'aplica a l'operador de moment, en sistemes on té un espectre continu.
Totes les fórmules anteriors són vàlides per a estats purs només. Prominentment en termodinàmica i òptica quàntica, els estats mixtos també són importants; aquests es descriuen mitjançant un operador de classe de traça positiu. , l'operador estadístic o matriu de densitat. El valor esperat es pot obtenir llavors com
(5)
Formulació general En general, els estats quàntics es descriuen mitjançant funcionals lineals normalitzats positius sobre el conjunt d'observables, que matemàticament sovint es consideren una C*-àlgebra. El valor esperat d'un observable aleshores ve donat per
Si l'àlgebra d'observables actua irreductiblement sobre un espai de Hilbert, i si és un funcional normal, és a dir, és continu en la topologia ultrafeble, aleshores es pot escriure com amb un operador de classe de traça positiu de la traça 1. Això dóna la fórmula () anterior. En el cas d'un estat pur, és una projecció sobre un vector unitari . Aleshores , que dóna la fórmula () anterior.
es considera que és un operador autoadjunt. En el cas general, el seu espectre no serà ni completament discret ni completament continu. Tot i això, es pot escriure en una descomposició espectral, amb una mesura amb valor de projecció. Pel valor esperat de en estat pur , això vol dir que es pot veure com una generalització comuna de les fórmules (2) i (4) anteriors.
En teories no relativistes de partícules finites (mecànica quàntica, en sentit estricte), els estats considerats són generalment normals. Tanmateix, en altres àrees de la teoria quàntica, també s'utilitzen estats no normals: Apareixen, per exemple. en forma d'estats KMS en mecànica estadística quàntica de medis infinitament estesos, i com a estats carregats en teoria quàntica de camps. En aquests casos, el valor esperat només es determina mitjançant la fórmula més general ().
Exemple en l'espai de configuració Com a exemple, considerem una partícula de la mecànica quàntica en una dimensió espacial, en la representació de l'espai de configuració. Aquí l'espai de Hilbert és , l'espai de funcions integrables al quadrat sobre la recta real. Vectors es representen per funcions , anomenades funcions d'ona. El producte escalar ve donat per . Les funcions d'ona tenen una interpretació directa com una distribució de probabilitat:
dóna la probabilitat de trobar la partícula en un interval infinitesimal de longitud en algun moment .
Com a observable, considerem l'operador de posició , que actua sobre les funcions d'ona per El valor esperat, o valor mitjà de les mesures, de realitzat en un nombre molt gran de sistemes independents idèntics vindrà donat per El valor esperat només existeix si la integral convergeix, cosa que no és el cas per a tots els vectors. . La raó és que l'operador de posició no té límits i s'ha d'escollir del seu domini de definició.
En general, l'esperança de qualsevol observable es pot calcular substituint amb l'operador corresponent. Per exemple, per calcular la quantitat de moment mitjana, s'utilitza l'operador de quantitat de moment a l'espai de configuració, . Explícitament, el seu valor esperat és
No tots els operadors en general proporcionen un valor mesurable. Un operador que té un valor esperat real pur s'anomena observable i el seu valor es pot mesurar directament en un experiment.
Referències
Categoria:Mecànica quàntica