miniatura|Un diagrama de Feynman que mostra la radiació d'un gluó quan s'anihilen un electró i un positró. En física, la teoria de gauge de xarxa és l'estudi de les teories de gauge en un espai-temps que ha estat discretitzat en una xarxa.

Les teories de gauge són importants en la física de partícules i inclouen les teories predominants de les partícules elementals: l'electrodinàmica quàntica, la cromodinàmica quàntica (QCD) i el Model Estàndard de la física de partícules. Els càlculs de la teoria de gauge no pertorbativa en l'espai-temps continu impliquen formalment l'avaluació d'una integral de camí de dimensió infinita, que és computacionalment intractable. Treballant en un espai-temps discret, la integral de camí esdevé de dimensió finita i es pot avaluar mitjançant tècniques de simulació estocàstica com el mètode de Monte Carlo. Quan la mida de la xarxa es pren infinitament gran i els seus llocs infinitament propers entre si, es recupera la teoria de gauge continu.

Conceptes bàsics En la teoria de gauge de xarxa, l'espai-temps és Wick girat a l'espai euclidià i discretitzat en una xarxa amb llocs separats per distància i connectats per enllaços. En els casos més comuns, com ara la QCD en xarxa, els camps de fermions es defineixen als llocs de la xarxa (cosa que porta a la duplicació de fermions), mentre que els camps de gauge es defineixen als enllaços. És a dir, s'assigna un element U del grup de Lie compacte G (no àlgebra) a cada enllaç. Per tant, per simular QCD amb el grup de Lie SU(3), es defineix una matriu unitària 3×3 a cada enllaç. A l'enllaç se li assigna una orientació, i l'element invers correspon al mateix enllaç amb l'orientació oposada. I a cada node se li assigna un valor en (un 3-vector de color, l'espai sobre el qual actua la representació fonamental de SU(3)), un espinor de Dirac, un vector nf i una variable de Grassmann.

Així, la composició dels elements SU(3) dels enllaços al llarg d'un camí (és a dir, la multiplicació ordenada de les seves matrius) s'aproxima a una exponencial ordenada per camí (integral geomètrica), a partir de la qual es poden calcular els valors del bucle de Wilson per a camins tancats.

Acció de Yang-Mills L'acció de Yang-Mills s'escriu a la xarxa utilitzant bucles de Wilson (anomenats així per Kenneth G. Wilson), de manera que el límit reprodueix formalment l'acció contínua original. Donada una representació irreductible fidel ρ de G, l'acció de Yang-Mills de la xarxa, coneguda com a acció de Wilson, és la suma sobre tots els llocs de la xarxa de la traça (component real de la) sobre els n enllaços e 1,..., en en el bucle de Wilson,

Aquí, χ és el caràcter. Si ρ és una representació real (o pseudoreal), prendre el component real és redundant, perquè fins i tot si s'inverteix l'orientació d'un bucle de Wilson, la seva contribució a l'acció roman sense canvis.

Hi ha moltes accions de Wilson possibles, depenent de quins bucles de Wilson s'utilitzen en l'acció. L'acció de Wilson més simple utilitza només el bucle de Wilson 1×1 i difereix de l'acció contínua per "artefactes de xarxa" proporcionals al petit espaiament de la xarxa. . Mitjançant l'ús de bucles de Wilson més complicats per construir "accions millorades", els artefactes de la xarxa es poden reduir per ser proporcionals a , fent que els càlculs siguin més precisos.

Mesures i càlculs miniatura|259x259px|Aquest resultat d'un càlcul QCD de xarxa mostra un mesó, compost d'un quark i un antiquark. (Segons M. Cardoso et al.) Quantitats com ara les masses de les partícules es calculen estocàsticament utilitzant tècniques com el mètode de Monte Carlo. Les configuracions del camp de gauge es generen amb probabilitats proporcionals a , on és l'acció reticular i està relacionat amb l'espaiat de la xarxa . La quantitat d'interès es calcula per a cada configuració i es fa la mitjana. Els càlculs sovint es repeteixen a diferents espaiaments de xarxa de manera que el resultat es pugui extrapolar al continu, .

Aquests càlculs sovint requereixen una quantitat extremadament intensiva de càlcul i poden requerir l'ús dels superordinadors més grans disponibles. Per reduir la càrrega computacional, es pot utilitzar l'anomenada aproximació apagada, en què els camps fermiònics es tracten com a variables "congelades" no dinàmiques. Tot i que això era habitual en els primers càlculs de QCD en xarxa, ara els fermions "dinàmics" són estàndard. La simulació de teories de gauge de xarxa és una aplicació hipotètica dels ordinadors quàntics.

Els resultats dels càlculs de QCD en xarxa mostren que en un mesó no només les partícules (quarks i antiquarks), sinó també els "tubs de flux" dels camps de gluons són importants.

Trivialitat quàntica La teoria de gauge de xarxa també és important per a l'estudi de la trivialitat quàntica mitjançant el grup de renormalització de l'espai real. La informació més important en el flux RG són els punts fixos. Els possibles estats macroscòpics del sistema, a gran escala, vénen donats per aquest conjunt de punts fixos. Si aquests punts fixos corresponen a una teoria de camp lliure, es diu que la teoria és trivial o no interactiva.

El concepte de trivialitat s'ha aplicat a la física del bosó de Higgs. Un model de joguina relativament simple del "sector de Higgs" del Model Estàndard el proporciona la teoria φ⁴, és a dir, una teoria de camp escalar el lagrangià de la qual inclou un terme d'interacció que és quàrtic en el camp φ. Es conjectura, basant-se en proves que inclouen càlculs de gauge de xarxa, que aquesta teoria és "trivial": si el tall de regularització es porta a distància zero o energia infinita, la teoria només descriurà partícules lliures. Utilitzant això com a model per al bosó de Higgs, la trivialitat conjecturada implica que el límit no es pot eliminar. Com que hi ha un límit superior de l'alta que pot ser l'energia de tall, hi ha un límit superior de la força d'interacció, que en última instància implica un límit superior de la massa del bosó de Higgs.

Altres aplicacions Originalment, les teories de gauge de xarxa bidimensionals resolubles ja havien estat introduïdes el 1971 com a models amb propietats estadístiques interessants pel teòric Franz Wegner, que treballava en el camp de les transicions de fase.

Quan només apareixen bucles de Wilson 1×1 en l'acció, es pot demostrar que la teoria de gauge de xarxa és exactament dual als models d'escuma d'espín.

Referències

Categoria:Física Categoria:Mecànica quàntica