La integració funcional és un conjunt de resultats en matemàtiques i física on el domini d'una integral ja no és una regió ordinària de l'espai, sinó un espai de funcions. Les integrals funcionals apareixen en probabilitat, en l'estudi d'equacions diferencials parcials i en la formulació d'integrals de camí cap a la mecànica quàntica de partícules i camps. Tot i que el terme suggereix una extensió de la integració ordinària, la manca d'una mesura invariant en la translació en espais de dimensió infinita significa que les integrals funcionals s'han de definir mitjançant mètodes més subtils o interpretar-se formalment.

En una integral ordinària (en el sentit de la integració de Lebesgue), hi ha una funció a integrar (l'integrand) i una regió de l'espai sobre la qual s'ha d'integrar la funció (el domini d'integració). La integral representa el límit d'una suma obtinguda dividint la regió en parts més petites, avaluant la funció en cadascuna i sumant els resultats. Per a cada petita regió, el valor de l'integrand no pot variar gaire, de manera que es pot substituir per un únic valor. En una integral funcional, el domini d'integració és un espai de funcions. Per a cada funció, l'integrand retorna un valor a sumar. Fer que aquest procediment sigui rigorós planteja reptes que continuen sent temes de recerca actuals.

La integració funcional va ser desenvolupada per Percy John Daniell en un article de 1919 i per Norbert Wiener en una sèrie d'estudis que van culminar amb els seus articles de 1921 sobre el moviment brownià. Van desenvolupar un mètode rigorós (ara conegut com a mesura de Wiener) per assignar una probabilitat a la trajectòria aleatòria d'una partícula. Richard Feynman va desenvolupar una altra integral funcional, la integral de camí, útil per calcular les propietats quàntiques dels sistemes. En la integral de trajectòria de Feynman, la noció clàssica d'una trajectòria única per a una partícula es substitueix per una suma infinita de trajectòries clàssiques, cadascuna ponderada de manera diferent segons les seves propietats clàssiques.

La integració funcional és fonamental per a les tècniques de quantificació en física teòrica. Les propietats algebraiques de les integrals funcionals s'utilitzen per desenvolupar sèries que s'utilitzen per calcular propietats en electrodinàmica quàntica i el Model Estàndard de la física de partícules.

Integració funcional Mentre que la integració estàndard de Riemann suma una funció f(x) sobre un rang continu de valors de x, la integració funcional suma un funcional G[f], que es pot considerar com una "funció d'una funció" sobre un rang (o espai) continu de funcions f. La majoria de les integrals funcionals no es poden avaluar exactament, sinó que s'han d'avaluar mitjançant mètodes de pertorbació. La definició formal d'una integral funcional és Tanmateix, en la majoria dels casos les funcions f(x) es poden escriure en termes d'una sèrie infinita de funcions ortogonals com ara , i aleshores la definició esdevé cosa que és una mica més comprensible. Es demostra que la integral és una integral funcional amb una capital . De vegades l'argument s'escriu entre claudàtors , per indicar la dependència funcional de la funció en la mesura d'integració funcional.

Exemples La majoria de les integrals funcionals són en realitat infinites, però sovint el límit del quocient de dues integrals funcionals relacionades encara pot ser finit. Les integrals funcionals que es poden avaluar exactament solen començar amb la següent integral gaussiana:

en què . En diferenciar funcionalment això respecte a J(x) i després establir-ho a 0, això es converteix en una exponencial multiplicada per un monomi a f. Per veure-ho, fem servir la notació següent:

Amb aquesta notació, la primera equació es pot escriure com:

Ara, portant les derivades funcionals a la definició de i després avaluant en , s'obté:

que és el resultat esperat. A més, utilitzant la primera equació s'arriba al resultat útil:

Si ajuntem aquests resultats i tornem a la notació original, tenim:

Una altra integral útil és la funció delta funcional:

que és útil per especificar restriccions. Les integrals funcionals també es poden fer sobre funcions amb valors de Grassmann , on , que és útil en electrodinàmica quàntica per a càlculs que impliquen fermions.

Aproximacions a les integrals de camí Les integrals funcionals on l'espai d'integració consisteix en camins (ν = 1) es poden definir de moltes maneres diferents. Les definicions es divideixen en dues classes diferents: les construccions derivades de la teoria de Wiener donen una integral basada en una mesura, mentre que les construccions que segueixen la integral de camí de Feynman no. Fins i tot dins d'aquestes dues grans divisions, les integrals no són idèntiques, és a dir, es defineixen de manera diferent per a diferents classes de funcions.

La integral de Wiener En la integral de Wiener, s'assigna una probabilitat a una classe de trajectòries de moviment brownià. La classe consisteix en els camins w que se sap que passen per una petita regió de l'espai en un temps donat. El pas a través de diferents regions de l'espai es considera independent entre si, i la distància entre dos punts qualssevol del camí brownià es considera que té una distribució gaussiana amb una variància que depèn del temps t i d'una constant de difusió D :

La probabilitat per a la classe de camins es pot trobar multiplicant les probabilitats de començar en una regió i després ser a la següent. La mesura de Wiener es pot desenvolupar considerant el límit de moltes regions petites.

Càlcul d'Ito i Stratonovich

La integral de Feynman Fórmula de Trotter o fórmula del producte de Lie. La idea de Kac de les rotacions de Wick. Usant x-punt-punt-quadrat o i S[x] + x-punt-quadrat. El Cartier DeWitt-Morette es basa en integradors en lloc de mesures

La integral de Lévy Mecànica quàntica fraccionària Equació fraccionària de Schrödinger Procés de Lévy Mecànica estadística fraccionària

Referències

Categoria:Càlcul Categoria:Mecànica quàntica