En càlcul estocàstic, la integral d'Ogawa, també anomenada integral estocàstica no causal, és una integral estocàstica per a processos no adaptats com a integrands. El càlcul corresponent s'anomena càlcul no causal, cosa que el distingeix del càlcul anticipatori de la integral d'Skorokhod. El terme causalitat fa referència a l'adaptació a la filtració natural de l'integrador.
La integral va ser introduïda pel matemàtic japonès Shigeyoshi Ogawa el 1979.
Integral d'Ogawa Sigui
sigui un espai de probabilitat, sigui un procés de Wiener estàndard unidimensional amb , i sigui la filtració natural del procés Wiener, la σ-àlgebra de Borel, sigui la integral de Wiener, sigui la mesura de Lebesgue.
Més lloguer sigui el conjunt de processos amb valor real que són -mesurable i gairebé amb seguretat en , és a dir
Integral d'Ogawa Deixa sigui una base ortonormal completa de l'espai de Hilbert .
Un procés s'anomena -integrable si la sèrie aleatòria
convergeix en probabilitat i la suma corresponent s'anomena integral d'Ogawa respecte a la base .
Si és -integrable per a qualsevol base ortonormal completa de i les integrals corresponents comparteixen el mateix valor, aleshores s'anomena universal Ogawa integrable (o u-integrable).
Més generalment, la integral d'Ogawa es pot definir per a qualsevol -procés (com ara el moviment brownià fraccionari) com a integradors
sempre que les integrals
estan ben definides.
Observacions La convergència de la sèrie no només depèn de la base ortonormal sinó també de l'ordenació d'aquesta base. Existeixen diverses definicions equivalents per a la integral d'Ogawa que es poden trobar a (). Una manera fa ús del teorema d'Itô-Nisio.
Regularitat de la base ortonormal Un concepte important per a la integral d'Ogawa és la regularitat d'una base ortonormal. Una base ortonormal s'anomena regular si
Es coneixen els següents resultats sobre la regularitat:
Cada semimartingala (causal o no) és -integrable si i només si és regular. Es va demostrar que existeix una base no regular per a
Més temes Existeix una fórmula d'Itô no causal, una fórmula d'integració per parts no causal i un teorema de Girsanov no causal.
Relació amb altres integrals Integral de Stratonovich: sigui ser continu semimartingala adaptada que és universal d'Ogawa integrable respecte al procés de Wiener, aleshores la integral de Stratonovich existeix i coincideix amb la integral d'Ogawa. Integral de Skorokhod: la relació entre la integral d'Ogawa i la integral de Skorokhod es va estudiar a ().
Literatura Insereix un paràgraf
Referències
Categoria:Matemàtiques Categoria:Càlcul integral