Conjugat harmònic: en matemàtiques, una funció amb valors reals definit en un conjunt obert connectat es diu que té una conjugada (funció) si i només si són respectivament les parts real i imaginària d'una funció holomorfa de la variable complexa És a dir, és conjugat a si és holomorf en Com a primera conseqüència de la definició, ambdues són funcions harmòniques amb valor real en . A més, el conjugat de si existeix, és únic fins a una constant additiva. També, és conjugat a si i només si és conjugat a . miniatura|Conjugats harmònics de punts d'una recta
Descripció Equivalentment, és conjugat a en si i només si i satisfan les equacions de Cauchy-Riemann en Com a conseqüència immediata d'aquesta darrera definició equivalent, si és qualsevol funció harmònica en la funció és conjugat a aleshores les equacions de Cauchy-Riemann són justament i la simetria de les derivades mixtes de segon ordre, Per tant, una funció harmònica admet una funció harmònica conjugada si i només si la funció holomorfa té una primitiva en en aquest cas un conjugat de és, és clar, Així doncs, qualsevol funció harmònica sempre admet una funció conjugada sempre que el seu domini sigui simplement connex, i en qualsevol cas admet una conjugada localment en qualsevol punt del seu domini.
Hi ha un operador que pren una funció harmònica u en una regió simplement connectada a al seu conjugat harmònic v (posant, per exemple , v (x₀) = 0 en un x₀ donat per tal de fixar la indeterminació del conjugat fins a constants). Això és ben conegut en aplicacions com (essencialment) la transformada de Hilbert; també és un exemple bàsic en anàlisi matemàtica, en relació amb operadors integrals singulars. Les funcions harmòniques conjugades (i la transformada entre elles) també són un dels exemples més simples d'una transformada de Bäcklund (dues EDP i una transformada que relacionen les seves solucions), en aquest cas lineal; les transformades més complexes són d'interès en solitons i sistemes integrables.
Geomètricament, u i v estan relacionats com a posseïdors de trajectòries ortogonals, allunyant-se dels zeros de la funció holomorfa subjacent; els contorns en què u i v són constants es creuen en angle recte. En aquest sentit, u + iv seria el potencial complex, on u és la funció potencial i v és la funció de corrent.
Exemples Per exemple, considereu la funció
Des de i satisfà ( és l'operador de Laplace) i, per tant, és harmònic. Ara suposem que tenim un de manera que es compleixin les equacions de Cauchy-Riemann:
i
Simplificant,
i
que quan es resol dóna
Observeu que si les funcions relacionades amb i s'intercanviessin, les funcions no serien conjugades harmòniques, ja que el signe menys a les equacions de Cauchy-Riemann fa que la relació sigui asimètrica.
La propietat de correspondència conforme de les funcions analítiques (en punts on la derivada no és zero) dóna lloc a una propietat geomètrica dels conjugats harmònics. Clarament el conjugat harmònic de x és y, i les rectes de x constant i y constant són ortogonals. La conformalitat diu que els contorns de constant i també seran ortogonals on es creuen (allunyant-se dels zeros de ). Això significa que v és una solució específica del problema de trajectòria ortogonal per a la família de contorns donada per u (no l'única solució, naturalment, ja que també podem prendre funcions de v): la qüestió, que es remunta a les matemàtiques del segle XVII, de trobar les corbes que creuen una família determinada de corbes que no es tallen en angle recte.
Referències
Categoria:Matemàtiques Categoria:Equacions en derivades parcials