En teoria de la probabilitat i en estadística, la distribució de WeibullWeibull, W. (1951) "A statistical distribution function of wide applicability" J. Appl. Mech.-Trans. ASME 18(3), 293-297 (batejada en honor de Waloddi Weibull) és una distribució de probabilitat contínua.
La distribució de Weibull s'utilitza habitualment per a l'anàlisi de dades de supervivència, degut a la seva flexibilitat i tractabilitat matemàtica. Pot imitar el comportament d'altres distribucions com la distribució normal quan k=3.4 i reproduir exactament la distribució exponencial quan k=1. Si la funció de risc decreix al llarg del temps, aleshores k < 1. Si és constant, k = 1. Si creix al llarg del temps, k > 1.
La funció de risc ajuda a comprendre què està causant les morts/fallides:
Un risc decreixent suggereix "mortalitat infantil". És a dir, els ítems defectuosos fallen al principi i, per tant, a mesura que avança el temps només queden els ítems no defectuosos, i el risc de fallida disminueix.
Un risc constant suggereix que no hi ha ítems defectuosos, i que els ítems no es desgasten amb el temps.
Un risc creixent indica que els ítems es desgasten i, per tant, a mesura que avança el temps augmenta el risc d'una fallida.
Caracterització Funció de densitat de probabilitat La seva funció de densitat de probabilitat és
per a i f(x; k, λ) = 0 per a x < 0, on és el paràmetre de forma i és el paràmetre d'escala.
Funció de distribució La funció de distribució pot calcular-se de forma explícita, fet que fa la distribució de Weibull atractiva per a modelar certs tipus de dades, com per exemple en l'anàlisi de la supervivència.
Funció de risc
Propietats Mitjana:
Mediana:
Moda: if
Variància:
Asimetria:
Moment d'ordre n: , on és la funció Gamma.
Generalització Existeix una genelització de la distribució de Weibull, que empra tres paràmetres. La funció de densitat de probabilitat és:
per a i f(x; k, λ, θ) = 0 per x < θ, on és el paràmetre de forma, és el paràmetre d'escala i és el paràmetre de localització. Quan θ=0, aquesta expressió es redueix a la distribució Gamma de dos paràmetres.
La funció de distribució és
per a x ≥ θ, i F(x; k, λ, θ) = 0 per a x < θ.
Generació de valors aleatoris Donada una observació aleatòria U obtinguda de la distribució uniforme en l'interval (0, 1), aleshores
segueix una distribució de Weibull amb paràmetres k i λ. Aquest resultat és una conseqüència immediata d'aplicar la transformació de distribució inversa.
Distribucions relacionades és una distribució exponencial si . és una distribució de Rayleigh si . segueix una distribució de Weibull si . Si X segueix una distribució de Weibull, 1/X segueix una distribució de Weibull inversa amb funció de densitat de probabilitat Vegeu també la distribució generalitzada del valor extrem.
Referències
Weibull