miniatura|Gràfica Gràfica de la funció arrel cúbica de la funció y = amb 0 ≤ x ≤ 10. En matemàtiques, una arrel cúbica o arrel terceraDiccionari Català-Valencià-Balear Arrel (3) d'un nombre és aquella quantitat que multiplicada tres vegades per ella mateixa dona una quantitat determinada, de la qual és l'arrel. En notació matemàtica s'escriu o x1/3, és un nombre a tal que a3 = x.
L'arrel cúbica real y d'un nombre real x es pot interpretar com la longitud que ha de tenir l'aresta d'un cub per tal que el cub tingui un volum de x unitats. D'aquí ve el nom d'arrel cúbica.
Història Els mètodes de càlcul d'arrels cúbiques són coneguts des de l'antiguitat. Heró d'Alexandria al llibre II de la seva obra Mètrica dona un mètode per calcular l'arrel cúbica d'un nombre i calcula l'arrel cúbica de 10.Heron of Alexandria Història d'Heró d'Alexandria A history of Greek mathematics By Thomas Heath, Thomas Little Heath, Sir Contributor Heath Published by Courier Dover Publications, 1981 , 9780486240749, pàgina 340, 341(consultable a google books)
miniatura|Aryabhata El matemàtic indi Aryabhata en la seva obra AryabhatiyaJosep Balcells i Reig, Calligraphia et Tipographia, Arithmetica et Numerica, Chronologia , pàg.121 de l'any 499, escrita amb 23 anys, defineix un algorisme per al càlcul d'arrels cúbiques sobre un sistema decimal amb el zero, a partir d'un sistema de numeració alfabètic no posicional, perquè l'obra està escrita en vers. Fins al no es pot confirmar el sistema de numeració posicional decimal amb el zero.Josep Balcells i Reig, Calligraphia et Tipographia, Arithmetica et Numerica, Chronologia , pàg.120
L'algorisme de separació dels dígits en grups de tres és essencialment una extensió dels mètodes de AryabhataAryabhata's Root Extraction Methods Anàlisi dels algorismes d'extracció d'arrels cúbiques d'Aryabhata
Definició formal Les arrelsVocabulari de matemàtiques, arrel cúbiques d'un nombre x són els nombres y que satisfan l'equació
Els nombres reals, aquells que es poden mesurar en magnituds contínuesVocabulari de matemàtiques, real tenen sempre una única arrel cúbica real i dues arrels cúbiques complexes (l'excepció és el zero, que es té a ell com única arrel cúbica), i tots els nombres complexos diferents de zero tenen tres arrels cúbiques complexes diferents. Per exemple, l'arrel cúbica real de 8 és 2, perquè 23 = 8. Les arrels cúbiques de −27i són
L'operació arrel cúbica és associativa respecte a la potenciació i distributiva amb la multiplicació i la divisió, però no és associativa ni distributiva respecte a la suma ni la resta.
Nombres reals Si x i y són nombres reals, hi ha una única solució per aquesta equació. L'arrel cúbica d'un nombre negatiu és un nombre negatiu. L'arrel cúbica real d'un nombre real rep el nom darrel cúbica principal.
L'arrel cúbica també es pot escriure com:
Aquesta notació es justifica per les següents identitats:
Si es permet que y prengui valors dins del conjunt dels nombres complexos, llavors l'equació té tres solucions i, per tant, x té tres arrels cúbiques.
Les tres arrels cúbiques de 1 són:
Això es pot comprovar fàcilment elevant-les al cub, per exemple en el cas de la tercera:
Les dues arrels cúbiques complexes d'un nombre real es poden trobar multiplicant la seva arrel cúbica principal per cadascuna de les dues arrels cúbiques complexes de 1. Això és gràcies a la propietat distributiva:
És a dir, les arrels ,, de són:
, , .
Nombres complexos miniatura|GràficWeisstein, Eric W. "Cube Root." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Explicació del concepte d'arrel cúbica I programes interactius per representar gràficament l'arrel cúbica real d'un nombre real i les arrels cúbiques complexes d'un nombre complex. de l'arrel cúbica complexa juntament amb els dos fulls addicionals. El primer dibuix mostra la branca principal. miniatura|Superfície de Riemann de l'arrel cúbica. Es pot veure com encaixen els tres fulls.
En multiplicar nombres complexos amb notació polar es multipliquen el mòduls i se sumen els angles. Per tant, per trobar un nombre complex que multiplicat per si mateix tres cops produeixi un nombre donat, n'hi haurà prou amb trobar l'arrel cúbica real del mòdul i dividir per tres l'angle. Com que en afegir o a un angle es torna a obtenir el mateix angle, el resultat de dividir per tres l'angle del complex inicial més aquests angles també donarà un valor que correspondrà a una arrel cúbica (perquè després en multiplicar-lo per tres s'obtindrà l'angle inicial). No serveix de res seguir afegint altres múltiples d'una volta sencera perquè no s'obtenen més resultats.
Per tant, les tres arrels complexes d'un nombre complex es poden calcular com a:
Una altra forma de definir l'arrel cúbica d'un nombre complex és:
Propietats de l'arrel cúbica Associativa amb la potenciació:Propietats de l'arrel cúbica a planetmath.org Distributiva amb la multiplicació
Distributiva amb la divisió
A diferència de la suma i de la resta no té ni la propietat associativa ni la distributiva, com es pot apreciar observant les següents identitats:
Càlcul numèric de l'arrel cúbica Numèricament es pot calcular amb l'algorisme de separació dels dígits en grups de tres. Tanmateix, hi ha altres mètodes més eficients.
Com que trobar l'arrel cúbica de x és equivalent a trobar el zero de la funció:
amb x una constant (de la qual es vol calcular l'arrel cúbica), es pot aplicar qualsevol dels mètodes per trobar zeros de funcions.
Amb el mètode de Newton Aplicant el mètode de Newton,Mètode de Newton a mathworld.com es calcula
Cada iteració portarà a
Exemple Per exemple, per calcular l'arrel cúbica de 2, emprant el mateix 2 com valor inicial y1, amb 6 iteracions s'obté:
Valor inicial: 2,000000000000 Iteració 1: 1,500000000000 Iteració 2: 1,296296296296 Iteració 3: 1,260932224741 Iteració 4: 1,259921860565 Iteració 5: 1,259921049895 Iteració 6: 1,259921049894
Amb l'algorisme de separació dels dígits en grups de tres L'algorisme de separació de dígits en grups de trescube root (algorithm) Descripció de l'algorisme de càlcul de l'arrel cúbica per separació de dígits de tres en tres. Enciclopèdia Espasa tomo 39 pàgines 32,33 i 34 extracció de l'arrel cúbica a l'article número. es basa en el fet que si un nombre enter és un cub perfecte el nombre de xifres de la seva arrel cúbica és un terç del nombre de xifres del nombre arrodonit cap amunt.
Això funciona emprant, per expressar el nombre, un sistema de numeració posicional en una base qualsevol. El que segueix s'explica pel cas de numeració en base 10 però es pot aplicar a qualsevol altra base pràcticament sense cap canvi.
Si el resultat n de l'arrel cúbica d'un nombre té m xifres, el nombre en qüestió (és a dir ) en tindrà 3m, 3m-1, o 3m-2, només cal plantejar que:
i tenint en compte que en base 10 té m+1 xifres.
A més, si a és un nombre format per les primeres xifres significatives de x, es té:
Per tant:
Per tant, si s'agrupen les xifres de tres en tres començant per la dreta, el cub del nombre format per les m xifres més significatives de l'arrel cúbica és més petit o igual que el nombre format pels m grups de xifres de més a l'esquerra. La idea és anar trobant les xifres del resultat una per una començant per la més significativa. La xifra més significativa es troba buscant un nombre de 1 a 9 que elevat al cub sigui més petit o igual que el primer grup de xifres. Per això es fa servir o es memoritza la taula dels cubs d'aquests nombres:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x3 1 8 27 64 125 216 343 512 729
La següent xifra més significativa es troba buscant una xifra (del 0 al 9) el més gran possible que sumada a l'anterior multiplicada per deu i elevant el resultat al cub sigui inferior al nombre format pels dos grups primers, i així successivament.
Per facilitar el tempteig, si a és el nombre format per les xifres ja trobades, i b és la xifra que s'està buscant, pot limitar-se a les que siguin més petites de
Exemple Trobar l'arrel cúbica de 55742968:
———————————————| 55.742.968 |382 -27 |————————————————————— ——— |3³=27 28.742 |————————————————————— -27.872 |3·3²·100·8 = 21.600 ——————— |3·3 · 10·8²= 5.760 870.968 | 8³= 512 -870.968 | —————— ———————— | 27.872 0 |————————————————————— |3·38²·100·2 = 866.400 |3·38 · 10·2²= 4.560 | 2³= 8 | ——————— | 870.968 La primera xifra és 3 perquè, a la taula, el 27 és l'immediat inferior a 55 Després es resta 27 de 55, que dona 28, i es "baixen" les xifres del següent grup. Equival a calcular 10³·(55-3³)+742, per tant, el que queda és el numerador de la fracció (n-a³·10³). La segona xifra serà la que sumada a 30 (3·10) i elevat el resultat al cub s'apropi més a 55.742. Per provar de reduir les proves es calcula 3•3²•100, que dona 2700. En aquest cas, com que 28.742 és més de deu cops més gran que aquest nombre, la següent xifra pot arribar a ser fins i tot 9 i cal començar provant el 9. Es prova el 9 i resulta que no pot ser. No s'ha escrit per deixar més clars els càlculs finals. Llavors es prova el 8. Es podria provar elevant 38³ i observant si és més gran o no que 55.742. Tanmateix, si els càlculs es fan a mà, resulta més ràpid (encara que un xic més confús) seguir aquest mètode: com que 38³ = 3³·1000 + 3•3²•100•8 + 3•3•10•8²+8³ i 3³•1000 ja s'ha restat de 55.782 i ha quedat 28.742, només cal calcular els altres sumands. Això dona 27.872 que és més petit que 28.742. Per tant, la segona xifra és 8. Es resta 27.872 de 28.742 i queda 870. Es baixa el següent grup de xifres i s'obté 870.968 Es calcula 3·38²·100, que dona 433200. Com que 870.968 és més petit que el triple de 433200 la següent xifra ha de ser com màxim 2. Es prova el 2 i en fer els càlculs dona exactament 870.968. La tercera xifra és 2 i el resultat final és 382.
Per tant, l'arrel cúbica de 55.742.968 és 382.
Si l'últim residu no fos 0, el nombre no seria un cub perfecte i el que es trobaria seria l'enter tal que el seu cub és immediatament inferior al nombre del qual s'està buscant l'arrel cúbica. Aquest mètode es pot emprar per trobar tants decimals com es vulgui en el cas de nombres que no siguin cubs perfectes. Només cal tenir en compte que
Per tant, afegint tres zeros a la dreta (multiplicant per 1000) i separant amb la coma un decimal del resultat (dividint per 10 el resultat), es troba l'arrel cúbica amb un decimal, amb tres zeros més un altre i així successivament.Hi ha una explicació més detallada de l'algorisme amb exemples a l'article "número" de l'Enciclopèdia Espasa.
Emprant arrels quadrades Tenint en compte la identitat:
,
Hi ha un mètode simple per calcular arrels cúbiques amb calculadores que només tenen la funció arrel quadrada. Aquest mètode només requereix els botons de multiplicar i arrel quadrada. No cal memòria. El mètode és el següent:
Prémer el botó arrel quadrada dos cops. Prémer el botó multiplicació. Prémer el botó arrel quadrada dos cops. Prémer el botó multiplicació. Prémer el botó arrel quadrada quatre cops. Prémer el botó multiplicació. Prémer el botó arrel quadrada vuit cops. Prémer el botó multiplicació….
El procediment es continua fins que el nombre no canvia en prémer el botó de multiplicació. Si la primera multiplicació se substitueix per una divisió, en comptes de l'arrel cúbica s'obté l'arrel cinquena.
Demostració del mètode Elevant x a la potència de cada un dels dos cantons de la identitat anterior: (*)
Al cantó esquerre hi ha l'arrel cúbica de x.
Els passos que s'han donat al mètode donen:
Després del segon pas:
Després del quart pas:
Després del sisè pas:
Després del vuitè pas:
etc.
Un cop l'arrel quadrada doni 1 (dins de l'exactitud de la calculadora), l'última multiplicació donarà el resultat del cantó dret de (*).
Càlcul mental ràpid d'arrels cúbiques