miniatura|Imatge representativa de la identitat d'Euler al pla complex. Correspon a aplicar una rotació π a l'element neutre 1, i afegir-hi una translació + 1. La rotació és d'angle π radians (mitja volta) respecte l'origen. L'expressió
identitat d'Euler, és una fórmula matemàtica (batejada pel físic estatunidenc Richard Feynman en homenatge a Leonard Euler) que uneix de forma simple diversos camps d'aquesta disciplina: un nombre associat a la geometria. un nombre associat a l'anàlisi matemàtica. un nombre bàsic en l'àlgebra. L'1 i el 0 que són una de les bases de l'aritmètica per ser els elements neutres de la multiplicació i l'addició.
Aquesta identitat és un cas particular de la fórmula d'Euler:
per a x = 0 i y = π.
Bellesa matemàtica Sovint se cita la identitat d'Euler com a exemple de bellesa matemàtica profunda. Tres de les operacions aritmètiques bàsiques hi apareixen cadascuna un cop: la suma, la multiplicació i l'exponenciació. La identitat també relaciona cinc constants matemàtiques fonamentals:Paulos, 1992, p. 117. El nombre 0, la identitat additiva. El nombre 1, la identitat multiplicativa. El nombre ( = 3,1415...), la constant del cercle fonamental. El nombre ( = 2,718...), també conegut com a nombre d'Euler, que apareix àmpliament en anàlisi matemàtica. El nombre , la unitat imaginària dels nombres complexos.
A més, l'equació es dona en forma d'una expressió posada igual a zero, la qual cosa és una pràctica comú en diverses àrees de les matemàtiques.
El professor de matemàtiques Keith Devlin, de la Universitat de Stanford, va dir: "Com un sonet de Shakespeare que capta l'essència mateixa de l'amor, o una pintura que posa de manifest la bellesa de la forma humana que és molt més que la pell, l'equació d'Euler arriba fins al més profund de l'existència".Nahin, 2006, google.cat/books?id=GvSg5HQ7WPcC&pg=PA1 p. 1 . I Paul Nahin, professor emèrit de la Universitat de New Hampshire, que ha escrit un llibre dedicat a la fórmula d'Euler i a les seves aplicacions en l'anàlisi de Fourier, descriu la identitat d'Euler com "d'una bellesa exquisita".Nahin, 2006, p. xxxii.
L'escriptora de matemàtiques Constance Reid ha opinat que la identitat d'Euler és "la fórmula més famosa de totes les matemàtiques".Reid, capítol e. I Benjamin Peirce, un filòsof, matemàti i professor de la Universitat Harvard estatunidenc del segle XIX, després de demostrar la identitat d'Euler durant una conferencia, va afirmar que la identitat "és absolutament paradoxal; no es pot entendre, i no sabem el que significa, però l'hem demostrat, i per tant sabem que ha de ser veritat".Maor, p. 160, y Kasner & Newman, p. 103-104.
Una enquesta entre els lectors realitzada per The Mathematical Intelligencer l'any 1990 va nombrar la identidad d'Euler com el teorema més bell de les matemàtiques.Wells, 1990. En una altra enquesta entre els lectors, realitzada per Physics World al 2004, la identidad d'Euler va empatar amb les equacions de Maxwell d'electromagnetisme com la "més gran equació de la història".Crease, 2004.
S'han publicat, pel cap baix, tres llibres de matemàtica popular sobre la identitat d'Euler: La Fabulosa Fórmula del Dr. Euler: cura molts mals matemàtics, de Paul Nahin (2011). Una equació d'allò més elegant: La fórmula d'Euler i la bellesa de les matemàtiques, de David Stipp (2017). L'equació pionera d'Euler: El teorema més bell de les matemàticas, de Robin Wilson (2018).
Explicació miniatura|Formula d'Euler general per a un angle miniatura|La funció es pot definir com a límit de , quan tendeix a infinit i, per tant, π és el límit de . En aquesta animació pren alguns valors creixents entre 1 i 100. El càlcul de es mostra com a efecte combinat de multiplicacions repetides en el pla complex, de manera que el punt final és el valor de . Es pot veure que quan es fa gran s'acosta al límit de -1. Des del punt de vista de l'anàlisi complexa, la identitat d'Euler és un cas particular de la fórmula d'Euler, que afirma que per qualsevol nombre real ,
on els valors de les funcions trigonomètriques sinus i cosinus venen donats en radiants.
En particular quan: = , o mig gir (180°), al voltant d'una circumferència :
Com que i també l'equació queda
d'on s'obté la identitat d'Euler:
Això redueix el problema a la demostració de la fórmula d'Euler, qüestió que es remunta als fonaments de l'anàlisi complexa. La demostració depèn de com s'hagi definit la funció exponencial complexa o, equivalentment, de com s'hagi definit l'extensió de la potenciació als nombres complexos.
Logaritmes de nombres negatius El logaritme natural d'un nombre complex , on , es defineix com:
on és:
Noti's que amb aquesta definició, arg(z) està en l'interval (l'argument en aquest interval és conegut com el "valor principal de l'argument" o simplement "argument principal"). Aquesta definciió no és l'única possible, ja que es pot haver definit també en l'interval [0, 2π), etc.
Per als logaritmes d'altres bases, es té en compte la següent relació mitjançant "canvi de base" :
Per exemple,
I també es compleix:
.
L'anterior afirmació es pot deduir de la definició. També es pot obtenir a partir de la identitat d'Euler, però no és la raó de la deducció de ln(-1). Aquest detall s'explicarà a continuació. Se sap que , però també és cert que i . De fet, en general:
L'error que es pot cometre aquí és que si , llavors a = b. L'afirmació anteiror és vàlida si a i b són nombres reals, però amb nombres complexos això no es compleix sempre. Per tant, si bé , no és cert que . D'aquesta forma, es pot veure que:
.
Abans s'ha mencionat que si es pot obtenir que amb la identitat d'Euler, però no és recomanable fer-ho, ja que es poden cometre errors com el descrit més amunt, perquè no sempre es compleix el fet que si llavors a = ln(b). Un altre possible error és el següent:
.
L'error aquí es dóna en . Això últim no és correcte i el motiu és que
.
Perquè només es compleix de manera general si a és positiu. D'una banda , però no és real, ja que ln(-e) no és un nombre real.
Identitat augmentada El nombre auri (també anomenat secció àurea= és un nombre irracional, representat per la lletra grega φ (phi) o Φ (Phi) = 1,61803398874988....
Una de les seves propietats és:
Per tant:
Substituint '1' en la identitat d'Euler, , s'obté:
Per tant:
Ordenant els termes de l'equació, l'expressió queda:
D'aquesta manerea es relacionen fins a sis constants molt utilitzades, cince operacions de les matemàtiques i l'equació quadràtica.
Interpretació geomètrica Qualsevol nombre complex pot ser representat pel punt en el pla complex. També es pot representar aquest punt en coordenades polars com , on r és el valor absolut de z (distància des de l'origen), i és l'argument de z (angle en sentit antihorari des de l'eix x positiu). Per les definicions de sinus i cosinus, aquest punt té coordenades cartesianes de , la qual cosa implica que . Segons la fórmula d'Euler, això equival a dir .
La identitat d'Euler diu que . Atès que és per a r = 1 i , això es pot interpretar com un fet sobre el nombre -1 en el pla complex: la seva distància a l'origen és 1 i el seu angle des de l'eix positiu x és radians.
A més, quan un nombre complex z qualsevol és multiplicat per , té l'efecte de girar z en el sentit antihorari un angle de en el pla complex. Com que la multiplicació per -1 reflexa un punt a través de l'origen, es pot interpretar la identitat d'Euler com que girar qualsevol punt radians al voltant de l'origen té el mateix efecte que reflectir el punt a través de l'origen. De la mateixa manera, si és igual a s'obté l'equació que es pot interpretar com que girar un punt una volta completa al voltant de l'origen el retorna a la seva posició original.
Generalitzacions La identitat d'Euler és també un cas particular d'una identitat més general: la sumam d'arrels de la unitat de grau n, si n > 1, és igual a 0
La identitat d'Euler és el cas particular quan n=2
En una altra àrea de les matemàtiques, utilitzant l'exponenciació de quaternions, es pot demostrar que una identitat similar també aplica als quaternions. Siguin } elements bàsics, llavors,
En general, si es donen , , reals tals que , llavors
Per a octonions, amb an real tal que , i amb
Història Si bé la identitat d'Euler és un resultat directe de la fórmula d'Euler, publicada en la seva monumental obra d'anàlisi matemàtica de l'any 1748, Introductio in analysin infinitorum,Conway & Guy, p. 254–255. és qüestionable si es pot atribuir el concepte particular de vincular cinc constants fonamentals en una forma compacta al propi Euler, ja que és possible que mai no ho hagués expressat.Sandifer, p. 4.
El matemàtic Robin Wilson afirma:Wilson, p. 151-152.
Referències
Bibliografia Conway, John H., i Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer Sandifer, C. Edward (2007), Euler's Greatest Hits, Mathematical Association of America
Paulos, John Allen (1992), Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics, Penguin Books Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press Reid, Constance (various editions), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America Maor, Eli (1998), : The Story of a number, Princeton University Press
Crease, Robert P. (10 May 2004), "The greatest equations ever", Physics World [registration required]
Euler