Tenzor je v matematice multilineární geometrický objekt používaný k popisu lineárních vztahů mezi vektory, kovektory a dalšími tenzory.
Tenzory jsou nezávislé na volbě souřadnic, přestože jejich složky se při změně souřadnic transformují podle přesně daných pravidel.
Speciálními případy tenzorů jsou:
skaláry (tenzory řádu 0) vektory a kovektory (tenzory řádu 1) metrický tenzor tenzor křivosti tenzor napětí
Definice
Nechť je vektorový prostor nad tělesem a jeho duální prostor. Tenzor typu je multilineární zobrazení
které je lineární v každém ze svých argumentů.
Číslo udává počet kontravariantních indexů a číslo počet kovariantních indexů. Součet se nazývá řád tenzoru.
Po zvolení báze lze tenzor vyjádřit pomocí jeho složek. Například tenzor typu má složky
Při změně souřadnic se složky tenzoru transformují podle přesně definovaných pravidel, avšak samotný tenzor jako geometrický objekt zůstává nezměněn.
Transformační zákon
Při změně souřadnic se složky tenzoru obecně mění. Způsob jejich transformace však není libovolný, ale je jednoznačně určen transformačním zákonem. Právě tato vlastnost odlišuje tenzory od obecných souborů čísel.
Kontravariantní složky vektoru se transformují podle vztahu
zatímco kovariantní složky se transformují jako
Obecně se každý kontravariantní index transformuje pomocí matice přímé transformace a každý kovariantní index pomocí matice transformace inverzní. Například tenzor typu se transformuje podle vztahu
Transformační zákon zajišťuje, že geometrický význam tenzoru nezávisí na volbě souřadnicové soustavy.
Tenzorový součin
Z jednodušších tenzorů lze vytvářet tenzory vyššího řádu pomocí tenzorového součinu. Je-li a dvojice vektorů, pak jejich tenzorový součin je tenzor typu se složkami
Obecně platí, že tenzorový součin tenzoru typu a tenzoru typu je tenzor typu
Tenzorový součin je bilineární operace a představuje základní způsob konstrukce složitějších tenzorů z jednodušších.
Příklady
Skalár
Skalár je tenzor typu . Jeho hodnota nezávisí na volbě souřadnicové soustavy. Příkladem skaláru je teplota, hmotnost nebo vlastní čas.
Vektor
Vektor je tenzor prvního řádu typu . Jeho složky se při změně souřadnic transformují kontravariantně.
Kovektor
Kovektor neboli duální vektor je tenzor typu . Jeho složky se při změně souřadnic transformují kovariantně.
Metrický tenzor
Metrický tenzor je symetrický tenzor typu , který umožňuje definovat skalární součin, délky křivek, úhly a další geometrické vlastnosti prostoru nebo časoprostoru.
Tenzor křivosti
Tenzor křivosti popisuje zakřivení variety. V diferenciální geometrii a obecné teorii relativity hraje klíčovou roli zejména Riemannův tenzor křivosti, ze kterého lze odvodit Ricciho tenzor a skalární křivost.
Použití ve fyzice
Tenzory se používají v mnoha oblastech fyziky k popisu fyzikálních veličin nezávislých na volbě souřadnicové soustavy. Umožňují formulovat fyzikální zákony ve tvaru, který zůstává platný při změně souřadnic.
V klasické mechanice se tenzory používají například pro popis momentu setrvačnosti nebo napětí v pružných tělesech. V elektrodynamice je elektromagnetické pole popsáno elektromagnetickým tenzorem.
Významnou úlohu hrají tenzory v obecné teorii relativity, kde je gravitační pole popsáno pomocí metrického tenzoru a zakřivení časoprostoru pomocí Riemannova tenzoru křivosti, Ricciho tenzoru a Einsteinova tenzoru. Einsteinovy rovnice pole vyjadřují vztah mezi geometrií časoprostoru a rozložením hmoty a energie prostřednictvím tenzorových veličin.
Odkazy
Reference
Související články Tenzorový součin Riemannův tenzor křivosti Metrický tenzor
Externí odkazy
Kategorie:Vektory Kategorie:Vektorový počet