náhled|350x350pixelů|Cílem rozlišení kvantových stavů je na základě jednoho kvantového měření s co nejmenší chybou určit, v jakém stavu se měřený systém před měřením nacházel. V obecném případě vždy dochází s jistou malou pravděpodobností k výskytu chybného určení.
Pojmem rozlišení kvantových stavů (popř. diskriminace kvantových stavů, ) se souhrnně označují kvantově-informatické techniky, s jejichž pomocí lze provedením malého počtu měření na fyzikálním systému identifikovat jeho konkrétní kvantový stav. A to za předpokladu, že je dopředu známa množina stavů, v nichž se systém může nacházet, a my pouze potřebujeme určit, o jaký se zrovna jedná. Tímto předpokladem se takovéto techniky odlišují od kvantové tomografie, jež sice neklade dodatečné požadavky na stav systému, vyžaduje však mnohonásobně více měření.
Je-li množina stavů, ve kterých se může zkoumaný systém nacházet, představována ortogonálními vektory, je situace obzvlášť jednoduchá. Pro jednoznačné určení stavu systému stačí provést kvantové měření v bázi tvořené těmito vektory. Z naměřené hodnoty lze pak bezchybně identifikovat daný kvantový stav. Lze navíc snadno ukázat, že pokud jednotlivé stavy vzájemně ortogonální nejsou, neexistuje způsob, jak je s jistotou rozlišit. Vždy je tedy v takovém případě nutno počítat s možností chybného či neprůkazného určení stavu systému. Existují však techniky, které se snaží tento nedostatek zmírnit. Až na výjimky lze tyto techniky rozdělit do dvou skupin, a sice na ty založené na minimalizaci chyby a pak na ty, které umožňují určit stav jednoznačně výměnou za nižší účinnost.
První skupina technik vychází z prací C. W. Helstroma z 60. a 70. let 20. století a ve své základní podobě spočívá v provedení projektivního kvantového měření, kde jsou měřicími operátory projektivní zobrazení. Skupina druhá je založena na závěrech vědeckého článku publikovaného I. D. Ivanovičem roku 1987 a vyžaduje použití měření zobecněného, v němž jsou za měřicí operátory vzaty prvky POVM sady. Obě skupiny technik jsou i v současnosti předmětem aktivního, především teoretického, výzkumu a až na řadu speciálních případů není obecné řešení, které by umožňovalo zvolit měřicí operátory ve formě vyjádřitelné analytickým vzorcem, známo.
Role ortogonality
Metod pro rozlišení kvantových stavů existuje vícero a konkrétní použití každé z nich závisí jednak na tvaru stavů, které mají být rozlišeny, a jednak na dodatečných požadavcích, které na metodu klademe. Ukazuje se, že velkou roli v tomto ohledu hraje ortogonalita stavů, jež mají být rozlišeny. Rozlišit mezi ortogonálními stavy je koncepčně jednoduché a zcela spolehlivé. Tomuto případu se tak věnuje v krátkosti následující podkapitolka. Otázka rozlišení neortogonálních stavů je mnohem komplexnější a je jí věnován zbytek tohoto článku.
Rozlišení ortogonálních stavů
Pro začátek uvažme množinu se dvěma ortogonálními stavy. Mějme tedy kvantový systém, jehož Hilbertův prostor můžeme bez újmy na obecnosti považovat za dvourozměrný a jenž se může nacházet v jednom z následujících dvou stavů: nebo . Tyto dva stavy jsou ortogonální a tvoří tak ortonormální bázi zmíněného Hilbertova prostoru. Měření, které po jediné aplikaci jednoznačně určí, zda se systém nachází v či , je zjevně dáno ortogonálními projektory a . Tyto projektory představují kvantové projektivní měření v bázi .
Uvažme nyní složitější případ, kdy může stav systému nabývat jednoho z těchto tvarů: nebo . Jak se lze jednoduchým výpočtem snadno přesvědčit, i v tomto případě platí, že a tvoří ortonormální bázi daného Hilbertova prostoru. Projektivním kvantovým měřením v této bázi tak můžeme jednoznačně určit, zda se systém nachází v či . Explicitním výpočtem totiž zjistíme, že naměřit hodnotu lze pouze tehdy, je-li systém ve stavu , protože pravděpodobnost naměření hodnoty je pro takový stav rovná nule, jak plyne z Bornova pravidla: . Zcela analogicky pak platí, že hodnotu lze naměřit jen tehdy, je-li systém na počátku ve stavu .
V obecném případě vícerozměrného Hilbertova prostoru a vícera stavů opět platí, že stav systému lze jednoznačně určit tak, že provedeme (jediné) projektivní měření v bázi tvořené těmito stavy. Formálně vzato, nechť je množina (čistých) kvantových stavů, jež jsou navzájem ortogonální a splňují tak vztahy , kde a kde je Kroneckerovo delta. Sestrojme z těchto stavů ortogonální projektory ve tvaru . Pak z Bornova pravidla plyne, že pravděpodobnost naměření výsledku pro vstupní stav je rovna . Je-li tedy stav systému roven pro jisté konkrétní , tak jediná hodnota, pro niž dostaneme nenulovou pravděpodobnost naměření, je právě . Tato hodnota tak jednoznačně identifikuje vstupní stav systému.
Neortogonální stavy nelze spolehlivě rozlišit
Nejenže lze ortogonální stavy spolehlivě rozlišit, platí navíc v jistém smyslu i opak. A sice, že stavy neortogonální spolehlivě rozlišit nelze. Jinými slovy, pro množinu neortogonálních (čistých) kvantových stavů neexistuje kvantové měření, které by je bylo schopno s jistotou rozlišit. V následujícím si uvedeme důkaz tohoto tvrzení.
Mějme tedy množinu neortogonálních stavů zadaných kety . Existují tedy alespoň dva stavy a pro jisté indexy tak, že . Pokud jde o měření, tak projektivní měření jsou speciálním případem měření zobecněných. Pro obecnost tedy uvažujme měření zobecněná, která jsou popsána POVM operátory , což jsou pozitivně semidefinitní operátory splňující relaci úplnosti: . Dokažme si sporem, že neexistuje sada POVM operátorů, která by byla schopná od sebe s jistotou odlišit vektory . Matematicky lze tento požadavek vyjádřit vzorcem pro všechny indexy , kde je Kroneckerovo delta. Využijeme-li relace úplnosti, můžeme přepsat skalární součin výchozích stavů do tvaru
Pro libovolný pozitivně definitní operátor lze ukázat variantu Schwarzovy nerovnosti, kde pro libovolné vektory a platí
Pro naši konkrétní volbu , a dostáváme , jak plyne z předpokladů. Po dosazení do vzorců výše a s využitím trojúhelníkové nerovnosti tak:
kde poslední rovnost plyne z předpokladu, že . Obdrželi jsme tak spor, jak bylo naším cílem. Můžeme tak shrnout, že neexistuje kvantové měření, které by od sebe spolehlivě odlišilo neortogonální vektory.
Rozlišení neortogonálních stavů
Jak je předvedeno v předchozí kapitolce, neortogonální stavy nelze spolehlivě rozlišit. Co však udělat lze, je sestrojit měření, které je tak spolehlivé, jak mu to jen tvary stavů dovolují. Ukazuje se, že tento přístup je mnohem složitější a kladoucí na matematický aparát mnohem větší nároky, než je tomu v případě rozlišení stavů ortogonálních. Jako motivaci pro následující výklad uvažme nejprve dva kvantové stavy ve tvaru
Tyto dva stavy nejsou ortogonální a jejich překryv je dán výrazem . Zkoumejme, jaké výsledky obdržíme, provedeme-li měření těchto dvou stavů v bázi . Pokud obdržíme výsledek , mohl být stav systému jak , tak . Nemáme tak žádné vodítko, jež by nám pomohlo určit původní stav. Dá-li však měření hodnotu , mohl být stav systému pouze , protože v se ket nevyskytuje. Zcela analogickou diskuzi bychom mohli provést pro měření v bázi . V tomto případě bychom po naměření věděli s jistotou, že stavem mohl být jedině , a při obdržení výsledku bychom identitu stavu systému určit nemohli.
Pro obě měřicí báze tak některé výsledky neposkytují jednoznačnou informaci o původním stavu změřeného systému. Jedním ze způsobů, jak se této nejednoznačnosti zbavit, je provedení kvantové tomografie obou stavů. V takovém případě musíme mít k dispozici mnoho kopií téhož systému v témže kvantovém stavu, na nichž provádíme různá měření a z nasbíraných výsledků jsme pak schopni zrekonstruovat s dostatečnou přesností oba stavy. Nevýhodou této metody je právě nutnost provedení velkého počtu měření. Techniky rozlišení kvantových stavů se snaží tento nedostatek obejít a poskytnout informaci o identitě stavu provedením pouze jediného měření.
Techniky rozlišení stavů
náhled|350x350pixelů|Srovnání pravděpodobností nechtěného výsledku pro dvě hlavní metody rozlišení kvantových stavů — rozlišení s minimální chybou (MED) a jednoznačného rozlišení (USD). Pravděpodobnost je vynesena v závislosti na úhlu sevřeném dvěma rozlišovanými stavy . Pro zvětšení klikněte na obrázek.
Bylo již několikrát zmíněno, že technik rozlišení neortogonálních stavů existuje více. V tomto ohledu dominují dva přístupy:
Rozlišení stavů s minimální chybou — Metoda spočívá v provedení projektivního měření, které je zvoleno tak, aby minimalizovalo chybu, to jest pravděpodobnost chybného určení stavu. Výsledkem je tedy vždy hodnota odpovídající jednomu ze vstupních stavů, tato hodnota však může být špatně (s jistou malou pravděpodobností). Jednoznačné rozlišení stavů — Metoda spočívá v provedení zobecněného měření, které je zvoleno tak, aby minimalizovalo pravděpodobnost neprůkazného výsledku. Tato metoda dokáže na rozdíl od té předchozí určit původní stav bez chyby. Výměnou za to je však nutnost zavedení neprůkazného výsledku, při jehož naměření nelze o stavu systému zjistit vůbec nic.
Na obrázku vpravo jsou zaneseny pravděpodobnosti "nechtěného" výsledku pro jednoduchý případ rozlišení dvou čistých kvantových stavů se shodnými apriorními pravděpodobnostmi. Oním "nechtěným" výsledkem je pro každou z obou metod něco jiného. V případě rozlišení s minimální chybou je v grafu vynesena oranžovou čarou pravděpodobnost chyby v závislosti na úhlu, který svírají rozlišované stavy. Protože metoda jednoznačného rozlišení určí stav pokaždé správně, je odpovídající chyba vždy nulová. V mnoha případech však namísto určení stavu dojde k obdržení neprůkazného výsledku. V grafu je tedy modrou čarou zanesena pravděpodobnost obdržení tohoto neprůkazného výsledku. Pro označení obou metod jsou použity anglické zkratky MED a USD.
Z krátkého popisu výše a grafu napravo je patrno, že obě metody mají své silné i slabé stránky a každá z nich tak poskytuje různé výhody. Ačkoli například metoda jednoznačného rozlišení nabízí bezchybné určení stavů, je tento klad vyvážen vysokou pravděpodobností naměření neprůkazného výsledku. I přes částečný pokrok není zobecnění těchto a jim podobných technik pro větší počet libovolných kvantových stavů známo a v následující diskuzi se tak většinou omezíme na stavy dva. Obě techniky jsou představeny v samostatné sekci níže.
Existují i další techniky rozlišení stavů, z nichž jednu, nesoucí anglický název maximum confidence measurements, lze chápat jako přechod mezi dvěma výše uvedenými. Tuto metodu lze použít i tehdy, kdy jsou rozlišované stavy lineárně závislé, v kterémžto případě technika jednoznačného rozlišení selhává. Místo minimalizace chyby či pravděpodobnosti neprůkazného výsledku se v ní maximalizuje míra spolehlivosti s jakou můžeme na základě získaného výsledku tvrdit, že byl zkoumaný systém v tom kterém stavu.
Role apriorních pravděpodobností
Případ neortogonálních kvantových stavů vykazuje jednu dodatečnou komplikaci. Pro volbu konkrétního kvantového měření totiž není důležitý jen tvar kvantových stavů, které od sebe chceme odlišit, ale důležitou roli hraje i četnost výskytu toho kterého stavu. Abychom si tuto situaci ilustrovali, mějme k dispozici velké množství stejných systémů, z nichž se každý může nacházet buď ve stavu , anebo ve stavu . Pokud je v souboru těchto systémů zastoupen stav mnohem častěji než , je odpovídajícím způsobem pravděpodobnější, že při náhodném výběru konkrétního systému bude tento systém ve stavu . Pravděpodobnostem výskytu, se kterými při náhodném výběru získáme systém v tom kterém stavu, se říká apriorní pravděpodobnosti ().
Pokud je tedy apriorní pravděpodobnost stavu velmi vysoká (to jest blízká jedničce), je víceméně jedno, jakého tvaru je stav . Tento druhý stav se totiž skoro nikdy nevyskytne. Pro poměrně spolehlivou identifikaci tak stačí stav systému měřit v bázi tvořené vektory a , kde je vektor kolmý na . V obecném případě je třeba brát hodnoty apriorních pravděpodobností v úvahu při návrhu konkrétního kvantového měření.