Van Wijngaardenova transformace je v matematice a numerické matematice varianta Eulerovy transformace používané pro zrychlení konvergence alternujících řad.
Jeden z algoritmů pro výpočet Eulerovy transformace funguje takto: Vypočítá řádek částečných součtů a vytváří řádky průměrů mezi sousedy První sloupec pak obsahuje částečné součty z Eulerovy transformace.
Přínos Adriaana van Wijngaardena spočívá v tom, že upozornil, že je lepší neprovádět tento postup až do úplného konce, ale zastavit jej ve dvou třetinách. Pokud jsou známy členy , pak je skoro vždy lepší aproximací součtu než . V mnoha případech diagonální členy v jednom cyklu nekonvergují, takže průměrování je třeba zopakovat s diagonálními členy umístěnými do řádku. (To bude potřebné v geometrické řadě s kvocientem .) Tento proces opakovaného průměrování částečných součtů může být nahrazen použitím vzorce pro výpočet diagonálního členu.
Příklad Jednoduchým příkladem je Leibnizův vzorec pro výpočet čísla pí (vycházející z Taylorova polynomu funkce arkus tangens) Výše popsaný algoritmus vytvoří následující tabulku: + Výpočet Eulerovy transformace ();Hodnoty spočítané v jazyce J z výrazu 'b11.8'8!:2-:&(}:+}.)^:n+/\(_1^n)*%1+2*n=.i.13 zvýrazněné hodnoty jsou závěrečné výsledky 1.00000000 0.66666667 0.86666667 0.72380952 0.83492063 0.74401154 0.82093462 0.75426795 0.81309148 0.76045990 0.80807895 0.76460069 0.80460069 0.83333333 0.76666667 0.79523810 0.77936508 0.78946609 0.78247308 0.78760129 0.78367972 0.78677569 0.78426943 0.78633982 0.78460069 0.80000000 0.78095238 0.78730159 0.78441558 0.78596959 0.78503719 0.78564050 0.78522771 0.78552256 0.78530463 0.78547026 0.79047619 0.78412698 0.78585859 0.78519259 0.78550339 0.78533884 0.78543410 0.78537513 0.78541359 0.78538744 0.78730159 0.78499278 0.78552559 0.78534799 0.78542111 0.78538647 0.78540462 0.78539436 0.78540052 0.78614719 0.78525919 0.78543679 0.78538455 0.78540379 0.78539555 0.78539949 0.78539744 0.78570319 0.78534799 0.78541067 0.78539417 0.78539967 0.78539752 0.78539847 0.78552559 0.78537933 0.78540242 0.78539692 0.78539860 0.78539799 0.78545246 0.78539087 0.78539967 0.78539776 0.78539829 0.78542166 0.78539527 0.78539871 0.78539803 0.78540847 0.78539699 0.78539837 0.78540273 0.78539768 0.78540021
To odpovídá následujícím výstupům: + Přesnost výsledku Algoritmus Použitý člen Hodnota Relativní chyba Naivní částečné součty 0.8046006… Eulerova transformace 0.7854002… van Wijngaardenova transformace 0.7853982…
Odkazy
Reference
Litaratura
Související články Eulerova sumace
Kategorie:Matematické řady Kategorie:Numerická matematika