En differentialligning er en ligning, hvori der indgår en (ubekendt) funktion og dens afledede.Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper (1985): Matematik 2 - Matematik for gymnasiets matematisk-fysiske gren. Forlaget Systime, Herning. (s. 224) At løse differentialligningen vil sige at finde en funktion, som tilfredsstiller denne.Hebsgaard (1990) s. 67
Den helt generelle form for en n'te ordens lineær differentialligning ser således ud:
Såfremt er lig nul, siger man, at differentialligningen er homogen, og i alle andre tilfælde, at den er inhomogen.https://brushup.aau.dk/2020e/mat-intensiv/aalborg/?file=upload/oplaeg26.pdf
En differentiallignings orden afhænger af, hvor mange gange der højest er differentieret. Ordenen kan således være fra et og opefter.
== Eksempel: Hastighed og acceleration == Et eksempel på benyttelse af differentialligninger i hverdagen er beskrivelsen af hhv. hastighed og acceleration i én dimension. Hastigheden er defineret som ændring i position pr. tidsændring :
Samtidig er acceleration ændringen i hastighed pr. tidsændring:Udregning af hastighed | Ingeniøren
Dette er eksempler på differentialligninger af hhv. første og anden orden, idet man kan opfatte både strækning og hastighed, som en funktion, der afhænger af tiden.
Flere praktiske eksempler er differentialligninger til beskrivelse af elektriske kredsløb eller til beskrivelse af et masse-fjedersystem. Her tænkes der på en masse, som er fastmonteret til en fjeder, hvorefter fjederen bliver strakt ud. Beskrivelsen af den oscillerende bevægelse frem og tilbage beskrives typisk også med en differentialligning. Dette er kun ganske få udpluk af utallige praktiske anvendelser.
Eksempel: Lodret kast med boldHerman & Strang (2016) s. 366-369 Et konkret eksempel på anvendelse af ovenstående differentialligninger kan ses ved at kaste en bold lodret op i luften og beregne, hvornår den rammer jorden. Ses der bort fra luftmodstanden, vil denne bold accelerere nedad med tyngdeaccelerationen , som i Danmark er omtrent 9,82 m/s². Det betyder, at følgende differentialligning kan opstilles for boldens højde over jorden:
Hvor strækningen er målt i meter og tiden i sekunder. Det negative fortegn skyldes, at tyngdekraften presser nedad på bolden.
Der antages yderligere, at bolden kastes opad med farten 5 m/s og at den slippes fra en højde på 1,5 m. Disse to informationen kaldes begyndelsesbetingelser til differentialligningen. De kan skrives matematisk, som hhv.:
Løsningen til differentialligningen kan findes ved at integrere af to omgange. Først findes hastigheden:
I denne differentialligning kan den første begyndelsesbetingelse indsættes, så der opnås:
Dette er en udtryk for boldens hastighed. Ønskes strækningen integreres det:
Heri kan den anden begyndelsesbetingelse anvendes:
Dette er den løsningen til den oprindelige differentialligning. Spørgsmålet om hvornår den rammer jorden kan besvares ved at løse andengradsligningen:
Hvilket giver den positive løsning:
Bolden rammer derfor jorden efter 1,23 sekunder.
Populær definition af differentialligning Populært sagt er en differentialligning en type ligning, som består af to ubestemte integraler; men der er gået kludder i de to ubestemte integraler.
Som standard er det ene integral af og det andet integral er af .
Metoden separation af de variable
At løse en differentialligningSeparation of variables - MaplePrimes kan ske ved metoden separation af de variable.http://www2.mat.dtu.dk/education/01007/separation_variable.pdf
Her starter man med at definere to funktioner; der som standard hedder og .
Man tager forbehold og sikrer, at
for man skal senere dividere med eller rettere: Man skal dividere med det, som er lig med .
Når man har bragt orden i de ubestemte intgraler,
sætter man et integraltegn (det langstrakte s:) på hver side af lighedstegnet.
Skrive to stamfunktioner
Herefter skal man skrive to stamfunktioner.
Ved at skrive de to stamfunktioner opstår der en almindelig ligning.
Løse den almindelige ligning
Den almindelige ligning løser man ved at isolere variablen
Så har man beregnet differentialligningens fuldstændige løsning.
Nogle eksempler på typer af differentialligninger Ifølge Hebsgaard (1995) findes der flere forskellige typer differentialligninger.
· Den proportionale første ordens differentialligningHebsgaard (1995) s. 71-72
og dens fuldstændige løsning
· Den lineære første ordens differentialligningHebsgaard (1995) s. 72-73
og dens fuldstændige løsning
· Den proportionale anden ordens differentialligningHebsgaard (1995) s. 82-83
og dens fuldstændige løsning
for
for
for
Løsningen beregnes nemt ved at integrere to gange.
Eksempler på anvendte differentialligninger Navier-Stokes' ligning Euler-Lagrange-ligning Logistisk vækst Newtons afkølingslov Newtons anden lovmekanik | lex.dk – Den Store Danske Radioaktivitethttps://steen-toft.dk/mat/20122013/3g1/model/henfald.pdf Reaktionshastighed
thumb|fig. proprotional (1 af 2) viser separation af de variable for proportional første ordens differentialligning.
thumb|fig. proprotional (2 af 2) viser separation af de variable for proportional første ordens differentialligning med de to stamfunktioner og fælles integrationskonstant. Nederste linje er en almindelig ligning, hvori y skal isoleres. En proportional første ordens differentiallignings løsning er forskrift for eksponentiel vækst.Eksponentiel vækst på webmatematik.dk
thumb|Xcas løser første ordens og anden ordens differentialligninger algebraisk.
thumb|fig. lineær (1 af 2) viser separation af de variable for lineær første ordens differentialligning.
thumb|fig. lineær (2 af 2) viser separation af de variable for lineær første ordens differentialligning med stamfunktioner og fælles integrationskonstant. Nederste linje er en almindelig ligning, hvori y skal isoleres En lineær første ordens differentiallignings løsning er forskrift for forskudt eksponentiel vækst.Forskudt eksp. vækst på webmatematik.dk
thumb|Figuren viser to eksempler på at starte løsningen af den separable første ordens differentialligning, hvis ikke-trivielle løsning er forskriften for logisitisk vækst, ved metoden separation af de variable.
Løsning For en separabel første orden differentialligning skelner man mellem den fuldstændige løsning og en partikulær løsning;Fuldstændig og partikulær løsning på balderholst.com den fuldstændige løsning omfatter alle løsninger;Førsteordens lineære differentialligninger på dtu.dk en partikulær løsning er derimod en konkret løsning;Bestemmelse af løsninger på mathhx.dk først beregner man den fuldstændige løsning og herefter beregner man en partikulær løsning.Fordelen ved differentialligningen ved empirisk modellering på ruc.dkat beregne den partikulære løsning sker ved at isolere c i formlerne (157) & (158) & (159) & (160) på side 23 i Marianne Kesselhahn & Bjørn Grøn (2007): Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen på uvm.dk
En funktion , som tilfredsstiller en differentialligning, kaldes en løsning. Grafen for kaldes en løsningskurve eller integralkurve; samtlige funktioner, som tilfredsstiller en differentialligning kaldes den fuldstændige løsning.Differentialligninger på solve-x.dk
&
Løsninger til differentialligninger på webmatematik.dk Korte stumper af løsningskurver indtegnet i koordinatsystemet betegnes linjeelementer.Hebsgaard (1995) s. 128
Løsningsmetoder Separation af de variable Anvende panserformlen til at løse lineær differentialligning af første orden
Separabel første ordens differentialligning Beviset for, at den logistiske funktions forskrift er løsningen til en differentialligning, kan føres vha. separation af de variable;siderne 5-7 i Erik Vestergaard: Differentialligninger - separation af variable på matematikfysik.dk hvor . En separabel første ordens differentialligning kan opfattes som to ubestemte integraler. Der er tale om et ubestemt integrale af og et andet ubestemt integrale af .side 46 i Steen Bentzen: ”Matematik for Gymnasiet. Differentialligninger og matematiske modeller” på uvmat.dk Men der er gået kludder i de to ubestemte integraler. Så samler man alt, der har med at gøre på den ene side af lighedstegnet; mens alt, som har med at gøre, samler man på den anden side af lighedstegnet.Separation af variable på matlet.dk
Ved at anvende separation af de variable samt skrive to stamfunktioner og den fælles integrationskonstant (gerne med et græsk bogstav) er der fremkommet en almindelig ligning.
Så er det lettere at isolere i den almindelige ligning.siderne 7 - 10 i Henrik Søgaard Hansen: Differentialligninger på intranet.sctknud-gym.dk Når man har isoleret , så har man beregnet differentialligningens fuldstændige løsning.Løsninger til differentialligninger på webmatematik.dk Ved først at isolere konstanten ;side 109 i Formelsamling til matematik af Ventus på matnat.dk
&
side 29 i Matematisk formelsamling stx A-niveau, maj 2018, på emu.dk og så indsætte løsningskurvens punkts koordinater i den fuldstændige løsning beregner man den partikulære løsning, der indeholder det punkt, som løsningskurven gennemskærer.
CAS-softwares En håndfuld CAS-softwares kan løse differentialligninger algebraisk. Den typiske kommando for at løse differentialligning er
enten:
dsolve( , ) for MapleLøsning af differentialligning med Maple - YouTube og Mathematica
eller:
deSolve( ,,) for TI-Nspire CAS og TI-92 Plus online emulator og TI-89 online simulator
hhv.
desolve( , ) for SageMath og Xcas og ExpressionsinBarExpressionsinBar can solve differential equations - YouTube
Disse websites kan løse differentialligninger
https://www.symbolab.com/solver/ordinary-differential-equation-calculator https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/differential-equations/ Kunstig intelligenshttps://medium.com/swlh/artificial-intelligence-can-now-solve-a-mathematical-problem-that-can-make-researchers-life-easier-9602c869128 er ved at lære at løse første ordens og anden ordenshttps://ai.facebook.com/blog/using-neural-networks-to-solve-advanced-mathematics-equations/ differentialligninger.Facebook's AI mathematician can solve university calculus problems | New Scientist
IT-afsnit Som en del af Edge browser kan MS Copilot bevise den proportionale differentiallignings løsningsformel, hvis man promter dette:
bevis differentialligningen dy/dx=k*y med forklaringer undervejs ved metoden separation af variablebevis differentialligningen dy/dx=k*y med forklaringer undervejs ved metoden separation af variable på bing.com
Eksterne kilder
Bøger Bahr, Kristian (2015): Smart matematik A : teoribog til adgangskursus. Praxis - Nyt Teknisk Forlag, Odense. Bruun, Bodil & Grøn, Bjørn m.fl. (2015): Hvad er matematik? - A : grundbog. 2. udgave. Lindhardt og Ringhof, København. Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper (1985): Matematik 2 - Matematik for gymnasiets matematisk-fysiske gren. Forlaget Systime, Herning. Hebsgaard, Thomas m.fl. (1995): Matematik højniveau 2. integralregning og differentialligninger. Forlaget Trip, Vejle. Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus : Volume 2 : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA. . (online) URL: https://d3bxy9euw4e147.cloudfront.net/oscms-prodcms/media/documents/CalculusVolume2-OP_esPpXTB.pdf Reinhardt, Fritz & Soeder, Heinrich (1977): dtv-Atlas zur Mathematik : Tafeln und Texte : Analysis und angewandte Mathematik. Band 2. Deutscher Taschenbuch Verlag, München.
Referencer
Kategori:Ligninger