Newtons afkølingslov er en lineær førsteordens differentialligning,http://web.math.ku.dk/~moller/e01/matbio/lektion8/lektion8a.pdf som beskriver, hvordan et legemeDen hastighed, hvormed et legeme afkøles er givet ved Newtons afkølingslov (eller en varmhttps://rucforsk.ruc.dk/ws/portalfiles/portal/62493562/FUFEksamensprojekt.pdf væske i en åben beholder) afkøles.GoTutor: Skræddersyet undervisning målrettet dit barn - GoTutor
Det kan f.eks. dreje sig om en kop te.Matematik i eks. vækst.indd Hastigheden, hvormed teens temperatur ændrer sig, er proportionalhttps://www.skoleflix.dk/watch/differentialligninger-newtons-afkølingslov-forskudt-eksponentiel-vækst-y-039-b-ay_OzTXlFZhciqCWYr.htmlhttps://www.lmfk.dk/artikler/data/artikler/1302/1302_42.pdf med forskellen mellem téens temperatur og omgivelsernes temperatur.DIFF 2 - Kap. 1-7
Afkølingsloven handler således om temperaturudligning.DIFF 2 - Kap. 1-7
Afkølingsloven Teens temperatur er , mens omgivelsernes temperatur er , så er afkølingsloven givet ved denne lineære første ordens differentialligning:Hebsgaard (1990) s. 72
, hvor
Differentialligningens venstre-side er den hastighed, hvormed teens temperatur ændrer sig med tiden .
På højresiden er en positiv konstant. For vil temperaturen altså være faldende, indtil teen har samme temperatur som omgivelserne ().
Termisk ligevægt er da opnået.
Teens afkøling er proportional med differencen mellem teens temperatur og omgivelsernes temperatur.http://www.frividen.dk/wp-content/uploads/SRO-Fysik_Matematik-10-tal-Newtons-afk%C3%B8lingslov.pdf
Differentialligningens løsning Differentialligningen kan løses vha. separation af de variable. Først skrives temperaturforskellen som :
En ændring i er det samme som en ændring i . Ligningen kan da løses vha. separation af de variable, hvilket giver:
hvor er en konstant. Det ses, at konstant er lig med temperaturforskellen til tiden nul :
skrives ud igen:
Hvilket giver:
Differentialligningens løsninghttp://www.mathe.tu-freiberg.de/~bernstei/HMI/mNewton.pdfGesetzmäßigkeit von Isaac Newton: Abkühlungsgesetz | Nanolounge er altså et forskudt eksponentielt fald,Uden navn hvor aftager eksponentielt og nærmer sig asymptotisk.Uden navn
Det ses, at bestemmer tidsskalen for nedkølingen. Til tiden , hvor
er temperaturforskellen faldet med en faktor ( er Eulers tal) eller ca. 63 %. er altså den karakteristiske tid for nedkølingen.
Eksempel thumb|Temperaturfaldet (rød) over tid for kanden med te ifølge Newtons afkølingslov. Den vandrette asymptote (grøn) angiver omgivelsernes temperatur. Loven beskriver for eksempel en kande tes afkøling. Téens begyndelsestemperatur er 95 °C, mens omgivelsernes temperatur er 20 °C, hvilket vil sige, at teen er 75 °C varmere end omgivelserne. Dvs. at:
Efter 5 minutter
er téens temperatur 75 °C, hvilket er 55 °C over omgivelserne:
Ud fra disse oplysninger kan estimeres:
hvor er den naturlige logaritme. Værdierne fra eksemplet indsættes, og er dermed:
Tilsvarende er den karakteristiske tid:
Ud fra de givne oplysninger kan loven altså bruges til at forudsige, at temperaturforskellen vil falde med 63 % i løbet af 16 minutter. Det svarer til, at teen da kun er 48 °C.Hebsgaard (1990) s. 73
Opståen Issac Newton publicerede sin afkølingslov i 1701.http://people.uncw.edu/hermanr/mat361/Simulink/FirstOrder.pdf
Se også
Differentialligning Separation af de variable Asymptote
Eksterne henvisninger
Bog
Referencer
Kategori:Termodynamik Kategori:Differentialligninger Kategori:Fysikkens historie