Fouriertransformation også kaldet Fourierafbildning er en matematisk funktion der bruges inden for blandt andet signalbehandling. En Fouriertransformation benyttes til at omregne mellem et tidsdomæne (tidssignal) til et frekvensdomæne (superposition af frekvenser).
For eksempel kan man med Fouriertransformation "måle" hvilke rene toner, der indgår i en digital indspilning af en stump musik. Man kan betragte en Fouriertransformation som en måde at nedbryde en funktion, så alle dens frekvenskomponenter bliver adskilt i et frekvensspektrum. Omvendt vil en invers-Fouriertransformation af et spektrum ideelt set resultere i funktionen selv. Man kan sammenligne det med at tage en akkord (funktionen) og adskille den i de enkelte toner (frekvenser), som den indeholder.
Fouriertransformationen er en uendelig linearkombination af sinus og cosinus funktioner, omskrevet til komplekse funktioner. Den er opkaldt efter den franske matematiker Joseph Fourier. Fourierrækker er et nært beslægtet område.
Matematikken bag Fouriertransformationen Fouriertransformation af et kontinuert-tidssignal er givet ved følgende integral: . Her er vinkelfrekvensen, er grundtallet for den naturlige logaritme og er den imaginære enhed. Denne operation betegnes også som Fourieranalyse. Tilsvarende kan den inverse Fouriertransformation defineres som:
Den inverse operation betegnes også som Fouriersyntese. I mange sammenhænge er en reel funktion, mens ofte bliver til en kompleks funktion.
Bruger man den cykliske frekvens i stedet for vinkelfrekvensen får man Fourierintegralerne til at blive:
Med Eulers formel kan man omskrive Fourierintegralerne så de bliver udtrykt med sinus og cosinus funktionerne:
Alternative definitioner Fouriertransformationen og dens inverse transformation kan også defineres på andre måder: .
Her skal det gælde at . Indenfor visse områder bruger man følgende normalisering: .
Diskret Fouriertransformation Hvis tiden og (vinkel)frekvensen bliver diskretiseret og er endelige taler man om diskret Fouriertransformation (DFT). DFT udføres sædvanligvis med en hurtig algoritme kaldet FFT efter engelsk fast Fourier transform. Den diskrete Fouriertransformation kan defineres som:
Den tilsvarende inverse diskrete Fouriertransformation defineres da som
Tabel over vigtige Fouriertransformationer De følgende tabeller viser nogle closed-form Fouriertransformationer. For funktioner f(x), g(x) og h(x) vises deres Fouriertransformationer ved henholdsvis , og . Kun de tre mest almindelige Fouriertransformationskonventioner er inkluderet.
Det kan være nyttigt at bemærke at 105 giver en sammenhæng mellem en Fouriertransformation af en funktion og den oprindelige funktion, hvilket kan ses ved sammenhængen mellem Fouriertransformation og dens inverse.
Funktionelle sammenhænge Fouriertransformationer i denne tabel kan findes i Erdélyi1954Erdélyi, Arthur, ed. (1954), Tables of Integral Transforms 1, New Your: McGraw-Hill eller Kammler2000[Kammler, David (2000), A First Course in Fourier Analysis, Prentice Hall,] .
Funktion Fouriertransformation unitær, ordinær frekvens Fouriertransformation unitær, angulær frekvens Fouriertransformation ikke-unitær, angulær frekvens Bemærkninger Definition 101Linaritet 102Parallelforskydning i tidsdomænet 103Parallelforskydning i frekvensdomænet, duale af 102 104Skalering i tidsdomænet. Hvis er stor, så er koncentreret omkring 0 og spredes ud - og trykkes mod ordinataksen. 105Dualitet. 106 107Dette er den duale af 106 108 109 Dette er den duale af 108 110For rent reelle funktionerHermitisk symmetri. 111For med rent reelle lige funktioner, og er rent reelle lige funktioner. 112For med rent reelle ulige funktioner, og er rene imaginære ulige funktioner. 113 Kompleks konjugation, generalisering af 110114 115
Kvadratisk-integrable funktioner Fouriertransformationer i denne tabel kan findes i CampbellFoster1948Campbell, George; Foster, Ronald (1948), Fourier Integrals for Practical Applications, New York: D. Van Nostrand Company, Inc.., Erdélyi1954 eller appendiks af Kammler2000.
Funktion Fouriertransformation unitær, ordinær frekvens Fouriertransformation unitær, angulær frekvens Fouriertransformation ikke-unitær, angulær frekvens Bemærkninger 201 202Duale af regel 201. 203 204 Duale af regel 203. 205 206 207 208 209
Fordelinger Fouriertransformationer i denne tabel kan findes i Erdélyi1954 eller appendiks i Kammler2000. Funktion Fouriertransformation unitær, ordinær frekvens Fouriertransformation unitær, angulær frekvens Fouriertransformation ikke-unitær, angulær frekvens Bemærkninger 301Fordelingen δ(ξ) henviser til Diracs deltafunktion. 302Duale af regel 301. 303Dette følger af 103 og 301. 304 305 306 307 308 309 310 311 Specielt tilfælde af 311. 312Den duale af regel 309. 313 314 315 316 Dette er en generalisering af 315. 317 er Euler–Mascheroni konstant. 318
To-dimensionelle funktioner Funktion Fouriertransformation unitær, ordinær frekvens Fouriertransformation unitær, angulær frekvens Fouriertransformation ikke-unitær, angulær frekvens400 401402
Formler for generelle n-dimensionelle funktioner Funktion Fouriertransformation unitær, ordinær frekvens Fouriertransformation unitær, angulær frekvens Fouriertransformation ikke-unitær, angulær frekvens500 501502503504
Kilder/referencer
Se også Diskret cosinustransformation (DCT) Fast Fourier Transform (FFT) Wavelet-transformation (WT) Diskret wavelet-transformation (DWT) Fast wavelet-transformation (FWT) Hilbertrum
Henvisning Mogens Oddershede Larsen, Fourieranalyse , 2. udgave, 2007.
Kategori:Fourieranalyse Kategori:Signalbehandling