Faktoranalysen er en empirisk statistikmodel, der indtager en særskilt plads blandt en række avancerede multivariate matematisk-statistiske analysemetoder, og som navnlig bruges til at forenkle fortolkningen af et datamateriale, der indeholder en stor mængde observationer/variable. – Faktoranalysen, hvis matematiske grundlag i sin tid blev skabt og formuleret af hhv. den engelske psykolog Charles Spearman (1863-1945) og amerikaneren Louis Leon Thurstone (1887-1955) I nyere tid er faktorteorien yderligere blevet videreudviklet af psykologerne Raymond B. Cattell (1905-1998) og Howard Gardner (1943- ). til brug for måling af visse særlige mentale egenskaber (psykometri), er specielt bemærkelsesværdig derved, at den bygger på et abnormt stort antal udregninger med udgangspunkt i korrelationskoefficienter - og med tilsyneladende uendelige skiftende rækker af gentagne multiplikationer mellem lutter mangecifrede decimaltal (via matrix algebra) og er derfor i praksis nærmest umulig at gennemføre uden brug af moderne computer-assistance. Før computerens opfindelse kunne en moderne multi-faktoriel faktoranalyse af fx testresultaterne fra en psykologisk undersøgelse over menneskets forskellige intellektuelle evner nemt lægge beslag på en halv snes beregnere på fuld tid igennem mere end 3-4 måneder, før det færdige udregningsresultat omsider kunne foreligge i form af identificeringen af de måske blot 7-8 faktorer, der fandtes skjult i det store datamateriale.
Baggrunden for Charles Spearman’s oprindelige to-faktorteori skyldtes iagttagelser af børns skolepræstationer, hvor det dengang som nu var en forholdsvis kendt sag, at præstationerne på en lang række tilsyneladende meget forskellige områder ofte forekom indbyrdes tæt forbundne og dermed muligvis kunne afsløre en relativt høj korrelation. Det gjaldt fx mentale evner som indlæringshastighed, problemløsning, hukommelsesspændvidde, opfattelsesevne, læsefærdighed, skriftlighed, talbehandling, abstraktionsevne, etc., og hvor det hyppigt viste sig, at hvis skolebarnet fx var rigtig god til at huske en lang række forskellige ting ad gangen (hukommelsesspændvidden), klarede det sig gennemgående også godt i de andre mentale færdigheder – og vice versa. Dette forhold mente Spearman, at der givetvis måtte være en grund/årsag til. Og til brug for en mulig verificering af sin hypotese om eksistensen af en generel, central faktor (den såkaldte "g-faktor") bag disse tilsyneladende forskellige intellektuelle evner, udviklede Spearman i 1904 derpå den faktoranalytiske metodologi med udgangspunkt i krydstabulerede korrelationsberegninger. Det skete som nævnt i form af den særlige to-faktor teori Spearman, C.: "General intelligence objectively determined and measured". American Journal of Psychology, 15, 201–293 (1904) på baggrund af hvilken, han efterfølgende erhvervede sig doktorgraden i 1906 ved universitetet i Leipzig, hvortil han en overgang havde henlagt en del af sin studietid inden for det psykologiske fagområde.
To-faktor teorien er siden afløst af både gruppefaktor teorien og multifaktor teorien. Men gøres eksempelvis korrelerede faktorer på området til genstand for yderligere faktoranalyse til opnåelse af 2. eller 3. ordens faktorer, fås i reglen en enkelt tilbageværende generel intelligensfaktor, der (som påvist af H.J. Eysenck) ret nøje viser sig at svare til Spearman’s centrale g-faktor. Året efter Spearman’s påvisning i 1904 af eksistensen af en generel, central g-faktor bag intelligensbegrebet, udgav den franske psykolog Alfred Binet den første operationelt anvendelige intelligenstest, kaldet Binét-Simon Intelligens Test (1905). Binét-Simon testen blev herefter internationalt enerådende til langt op i 1940’erne, indtil den gradvist blev afløst af de amerikanske Wechsler’s Intelligence Scales, baseret på bl.a. den moderne multifaktor teori inden for faktoranalysen. Spearman hævdede, at denne generelle del af alle intelligensmålinger, selve g-faktoren, var neurofysiologisk funderet og skulle rettelig forstås som en målelig fysisk kraft, der var til stede i mere eller mindre omfang hos de forskellige individer, snarere end som et særligt fænomen af mental eller sjælelig beskaffenhed - ikke ulig begreber som fx hestekraft o.lign.
Selvom faktoranalysen således oprindelig blev udviklet som stringent empirisk forskningsmetode inden for differentialpsykologien (især testpsykologien), har faktoranalysen som matematisk/statistisk metodologi efterfølgende vundet indpas i mange andre helt forskellige fagvidenskaber. Det gælder både inden for kulturvidenskab, samfundsvidenskab og naturvidenskab. Således bl.a. i 2003 inden for astrofysikkens nylige klarlæggelse af Big-Bang teoriens følgevirkninger for spredningsmønstret af både galaxerne og varmefordelingen i universet. Ligesom det i 2018 blev afsløret, at det verdensomspændende sociale medie, Facebook, benyttede sig af faktoranalyse til at beregne brugernes personlighedsprofiler til brug for ikke alene udformningen af reklamebureauernes påvirkningsstrategier over for udvalgte potentielle kundegrupper, som intetanende færdedes på Facebook, men også til brug for storpolitiske manipulationer af visse vælgergrupper i de vestlige demokratier. Faktoranalysen indgår her som en væsentlig og integreret del af de algoritmer, som Facebook har lagt til grund for udviklingen af deres overordentlig profitable forretningsmodel.
Objektivitet vs. subjektivitet i faktoranalysen En faktoranalyse består af to adskilte matematiske procedurer, en faktorudtrækning og en faktorrotation i nævnte rækkefølge. Den foretages på baggrund af en korrelationsmatrice, dvs. en tabelfortegnelse over alle korrelationskoefficienter, der fremkommer ved at korrelere samtlige variable, som indgår i datamaterialet, med hinanden.
Faktorrotationen kan principielt styres manuelt (dvs. grafisk) af forskeren til opnåelse af mest mulig meningsgivende udslag, hvilket kan indebære et væsentligt subjektivt element i fortolkningen af faktorerne. Men den kan også foregå efter rent matematiske principper, som fx rotation til simplest mulig faktorstruktur (jfr. det universelle ontologiske forklaringsprincip, parsimoni-princippet, også kendt som "Ockhams Ragekniv" Den middelalderlige engelske filosof, W. Ockham (1288 – 1347), var den første til at formulere det berømte ontologiske parsimoni-princip: Entia non sunt multiplicanda sine necessitate, hvilket ud fra et mere nutidigt sprogbrug kan oversættes til: "Inddrag ikke flere forklaringselementer end højst nødvendig!").
Faktorudtrækningen udgør et andet, dog mindre subjektivt element, når forskeren indledningsvis skal afgøre, hvor mange faktorer, der med rimelighed kan udtrækkes af datamaterialet. Også her kan der imidlertid gives objektive tommelfingerregler i form af fx antallet af egenværdier større end én (λi > 1) eller Cattell's såkaldte "scree plot".
Man kan således godt have samme korrelationsmatrice til mere end én faktorstruktur. En funden faktorstruktur inden for især grundforskningen bør derfor, i lighed med alle andre videnskabelige opdagelser, afvente bekræftelse fra andre forskere, før den med føje kan gøres objektivt gældende som et retvisende billede af virkeligheden.
Ortogonale vs. oblique faktorer Til gennemførelse af begge matematiske procedurer inden for samme computerberegningskørsel findes i dag mange gode statistikprogrammer at vælge imellem. Langt de fleste af disse giver dog kun mulighed for en automatisk/objektiv beregning af resultaterne ud fra en forhåndsantagelse om ortogonalitet i datamaterialet, dvs. med forekomst af alene unikke, ukorrelerede faktorer (gælder bl.a. den meget benyttede Varimax rotation). I virkelighedens verden er der imidlertid sjældent tale om en så perfekt overensstemmelse imellem realiteterne og en given ideel matematisk-statistisk model, der på den måde ganske arbitrært og ofte uden nærmere begrundelse ses presset ned over et datamateriale med deraf følgende mulighed for skævvridninger af beregningsresultatet.
Såfremt faktorerne ikke med rimelig sikkerhed kan hævdes at være ortogonale (dvs. uafhængige, "retvinklede"), vil der anderledes være tale om oblique (dvs. afhængige, "skævvinklede", korrelerede) faktorer. Oblique faktorer kan i modsætning til ortogonale faktorer selv gøres til genstand for yderligere faktoranalyse, hvorved faktorer af højere orden – således af 2. orden eller endog af 3. orden – på endnu mere abstrakt (eller grundlæggende) niveau evt. kan identificeres. Der findes i handelen også statistikprogrammer, der kan klare beregningen af oblique faktorer, fx via Oblimin rotation el.lign. Grundet den noget mere komplicerede beregningsteknik, der ligger bag den analytiske rotation af oblique faktorer, drejer det sig dog ofte om noget mere kostbare programmer.
Faktor-rotationsmetoder 700px|left
Forskellen imellem ortogonale faktorer (Fig. A og B) og oblique faktorer (Fig. C) kan vises med 3 enkle til lejligheden frit konstruerede illustrative eksempler ved hjælp af blot tre variable og to faktorer (F1 og F2).
Forud for rotationsproceduren kan faktorudtrækningen i sit udgangspunkt fremtræde som vist i Fig. A med hele to af de tre variable liggende noget spredt og ganske udefinerede i forhold til de to faktordimensioner. Kun variabel 3 ligger endog særdeles veldefineret med en høj faktorladning på F1 (-.86) og med en meget lav faktorladning på F2 (-.12). Det samme gælder således ikke for hverken variabel 1 eller 2, hvor det trods deres relativt høje faktorladningspotentiale er nærmest umuligt at bedømme, om de knytter sig til F1 eller F2.
Ved i Varimax at rotere faktordimensionerne 25o i Fig. B fås et noget mere klart billede af variablernes betydning, idet både variabel 1 og 2 nu helt klart knytter sig til hhv. F2 og F1 (+.95 og +.46). Til gengæld står variabel 3 ved brugen af Varimax nu ganske isoleret og udefineret tilbage med omtrent samme faktorladning på begge faktorer.
Som det fremgår af Fig. A og Fig. B vil der her altid være tale om ukorrelerede faktorer, hvorfor de to faktordimensioner står 90o vinkelret (ortogonalt) på hinanden som i et almindeligt koordinatsystem. (θ = 90o, r = cos θ = .00).
I Fig. C hhv. minimeres og maksimeres variablernes faktorladninger i Oblimin yderligere ved at gå over til anvendelsen af oblique (korrelerede) faktorer. Det bedste resultat opnås her ved at rotere faktordimensionerne hver for sig, så de til sidst ses at stå i en vinkel på 64o i forhold til hinanden, hvilket giver en korrelation på .43 mellem faktorerne under brug af cosinus-funktionen: (θ = 64o, r = cos θ = .43). Det bemærkes, at alle tre variable hermed samlet set findes relativt veldefinerede med hhv. høje og lave faktorladninger på de to faktorer, idet også variabel 3 nu atter kan forklares mere entydigt med såvel lav tilknytning til F2 (-.27) som med høj tilknytning til F1 (-.87). Det kan sprogligt set virke lidt problematisk at tale om høj tilknytning i forbindelse med en negativ faktorladning. Men man skal her huske, at mangt og meget faktisk udmærket kan defineres ved sin modsætning.
Alt i alt forbedres og præciseres fortolkningen af faktorstrukturen ved brug af faktorrotation. Og i dette illustrerende eksempel er det med Oblimin som værende et klart bedre valg end Varimax, der igen ses at være et betydeligt bedre valg end ingen rotation – vel at mærke alt sammen i medfør af parsimoni-kriteriets krav om simplest mulig faktorstruktur.