miniaturadeimagen|Cuatro números narcisistas de 3 cifras. En matemática recreativa un número narcisistaPerfect and Plus Perfect Digital Invariants by Scott Moore es aquel que es igual a la suma de sus dígitos elevados a la potencia de su número de cifras. Su nombre alude a lo mucho que parecen "quererse a sí mismos".
Esta definición depende de la base b del sistema numérico empleado, por ejemplo b = 10 para el sistema decimal o b = 2 para el sistema binario.
Definición La definición de número narcisista se basa en la representación decimal n = dkdk-1...d1 de un número natural n.
Por ejemplo,
Con k dígitos di siendo 0 ≤ di ≤ 9. Así un número es narcisista si se cumple que:
Un ejemplo de número narcisista es el 153. Puesto que
Como un número narcisista puede definirse con respecto a la base numérica con base b diferente de 10, en base b la representación del número natural n se define como :
n = dkbk-1 + dk-1bk-2 + ... + d2b + d1
donde los dígitos de la base b los dígitos di cumplen la condición de que 0 ≤ di ≤ b-1.
Por ejemplo, el número decimal 17 es narcisista en su representación en base 3 (b = 3). Este en base-3 se representa como 122, porque 17 = 1·32 + 2·3 + 2 y a su vez cumple la ecuación 17 = 13 + 23 + 23
Si se elimina la restricción de que la potencia debe de tener el mismo valor que la cantidad de dígitos, es decir que m puede tener un valor diferente de k entonces ocurre que :
n = dkm + dk-1m + ... + d2m + d1m
Entonces n es lo que se llama un invariante digital perfectoPDIs by Harvey Heinz o PDI en sus siglas en inglés (perfect digital invariant). Por ejemplo, el número decimal 4150 tiene cuatro dígitos decimales y la suma de sus cifras a la quinta potencia es: 4150 = 45 + 15 + 55 + 05, por lo tanto es un invariante digital perfecto pero no es un número narcisista.
Hay solo cuatro números, después de la unidad, que son suma de los cubos de sus dígitos:
.
Según G.H. Hardy en A Mathematician's Apology: "Estos son datos curiosos, muy adecuados para las columnas del rompecabezas y para divertir a los aficionados, pero no hay nada en ellos que interese al matemático".
Números narcisista en varias bases
Base Secuencia de números Base 2 0,1 Base 3 0, 1, 2, 12, 22, 122 Base 4 0, 1, 2, 3, 130, 131, 203, 223, 313, 332, 1103, 3303 ... y Base 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 24, 64, 134, 205, 463, 660, 661, ... ( y ) Base 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, ... Base 12 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ᘔ, Ɛ, 25, ᘔ5, 577, 668, ᘔ83, ... Base 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 156, 173, 208, 248, 285, 4A5, 5B0, 5B1, 60B, 64B, ...
La cantidad de números narcisistas es finito dentro de una base, mientras que el máximo posible de sumas de la k-esima potencia de un dígito k en base b es:
y si k es lo suficientemente grande, entonces
en cuyo caso el número puede tener k o más dígitos. Para el caso de b igual a 10 entonces el mayor número narcisista en base 10 debe de tener menos de 1060.
Hay sólo 88 números narcisistas en base 10, y el más grande es
115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401
con 39 dígitos.
Todos los números de una cifra son narcisistas.
Referencias
Enlaces externos Digital Invariants Armstrong Numbers Armstrong Numbers in base 2 to 16 Armstrong numbers between 1-999 calculator
Categoría:Matemática_recreativa