En matemáticas, una relación en un conjunto es alguna clase de vínculo que puede darse o puede no darse (sin posibilidad de estados intermedios) entre dos miembros de un conjunto determinado. Por ejemplo, "ser menor que" es una relación en el conjunto de los números naturales; que se verifica entre 1 y 3 (lo que se expresa como 1<3), y también entre 3 y 4 (denotado como 3<4); pero que no se da entre 3 y 1 ni tampoco entre 4 y 4. Otro ejemplo puede ayudar a clarificar el concepto: "ser hermana de" es una relación en el conjunto de todas las personas, que se cumple, por ejemplo, entre Marie Curie y Bronisława Dłuska, y viceversa.
Los miembros del conjunto no pueden estar en relación "hasta cierto punto": o están en relación, o no lo están.
Características generales Formalmente, una relación sobre un conjunto puede verse como un conjunto de pares ordenados de miembros de . La relación se mantiene entre e si es miembro de .
Por ejemplo, la relación "ser menor que" en los números naturales genera un conjunto infinito de pares de números naturales denominado , que contiene tanto a como a , pero ni a ni a .
La relación "es un divisor de" en el conjunto de números naturales de un dígito es lo suficientemente pequeña como para mostrarse aquí:
por ejemplo, 2 es un divisor no trivial de 8, pero no al revés, por lo tanto ; y en cambio, .
Si es una relación que se cumple para e , a menudo se escribe . Para las relaciones más comunes en matemáticas, se introducen símbolos especiales, como "<" para "es menor que", y "|" para "es un divisor no trivial de", y, el más conocido símbolo "=" para "es igual que". Por ejemplo, "1<3", que se lee como "1 es menor que 3", y "" significan lo mismo; algunos autores también escriben "".
A continuación se mencionan algunas propiedades de las relaciones:
Una relación es reflexiva si se cumple para todos los , e irreflexiva si no se cumple para ningún . Es simétrica si siempre implica y asimétrica si implica que es imposible. Es transitiva si y siempre implican que .
Por ejemplo, "es menor que" es una relación irreflexiva, asimétrica y transitiva, pero no reflexiva ni simétrica. La relación "es hermano de" es transitiva, pero no reflexiva (por ejemplo, Pierre Curie no es hermano de sí mismo), es simétrica, no es asimétrica; si bien ser irreflexivo o no puede ser una cuestión de definición (¿es cada mujer hermana de sí misma?). La relación "es antepasado de" es transitiva, mientras que "es padre de" no lo es.
Se han declarado numerosos teoremas matemáticos sobre combinaciones de propiedades de relación, como "Una relación transitiva es irreflexiva si, y solo si, es asimétrica".
De particular importancia son las relaciones que satisfacen ciertas combinaciones de propiedades. Un conjunto parcialmente ordenado está definido mediante una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva, Chapter 14 una relación de equivalencia es una relación reflexiva, simétrica y transitiva,Halmos (1968), Chapter 7 una función es una relación única por la derecha y total por la izquierda (véase más adelante).Halmos (1968), Chapter 8
Dado que las relaciones operan sobre conjuntos, se pueden manipular mediante operaciones de conjuntos, incluidas operaciones como la unión, la intersección y la complementación, y satisfaciendo las leyes de un álgebra de conjuntos. Más allá de este hecho, están disponibles operaciones como la inversa de una relación y la composición de relaciones, que satisfacen las leyes del cálculo de relaciones.Ernst Schröder (1895) Algebra und Logic der Relative, via Internet ArchiveClarence Irving Lewis (1918) A Survey of Symbolic Logic , pages 269 to 279, via internet Archive Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, , Chapt. 5
El concepto anterior de relaciónLlamada "relación binaria homogénea (en conjuntos)" cuando la delimitación de sus generalizaciones es importante. se ha generalizado para admitir relaciones entre miembros de dos conjuntos diferentes ("relación heterogénea", como en el caso de la relación "se encuentra en" definida entre el conjunto de todos los puntos y el de todas las rectas en geometría), relaciones entre tres o más conjuntos (relación finita, como en el caso de "la persona x,, vive en la ciudad y,, en el momento z,,"), y relaciones entre clasesuna generalización a los conjuntos (como en el caso de "es un elemento de" en la clase de todos los conjuntos; véase relación binaria).
Definición
Dado un conjunto X, una relación R sobre X es un conjunto de pares ordenados de elementos de X. Formalmente: .
La declaración se interpreta como que "x está R-relacionado con y"; y escrita en notación de infijo toma la forma xRy. El orden de los elementos es importante; si entonces yRx puede ser verdadero o falso independientemente de xRy. Por ejemplo, 3 divide a 9, pero 9 no divide a 3.
Representación de relaciones
1 2 3 4 6 12 1 2 3 4 6 12 Representación de Rdivcomo matriz booleana
Una relación R sobre un conjunto finito X puede representarse como: Un grafo dirigido: Cada miembro de X corresponde a un vértice; una arista dirigida de x a y existe si, y solo si, (x,y) ∈ R. Una matriz booleana: Los miembros de X están organizados en alguna secuencia fija x1,...,xn; la matriz tiene orden n×n, siendo el elemento en la línea i, columna j, , si (xi,x j) ∈ R, y , en caso contrario. Un gráfico 2D: Como generalización de una matriz booleana, una relación en el conjunto (infinito) ℝ de los números reales se puede representar como una figura geométrica bidimensional: usando coordenadas cartesianas, dibujar los puntos (x,y) tales que (x,y) ∈ R.
Una relación transitivaVéase #Propiedades de las relaciones R en un conjunto finito X también se puede representar como:
Un diagrama de Hasse: Cada miembro de X corresponde a un vértice, y los vínculos dirigidos se dibujan de manera que exista un camino de x a y si, y solo si, (x,y) ∈ R. En comparación con una representación mediante un gráfico dirigido, un diagrama de Hasse necesita menos vínculos, lo que da lugar a una imagen menos enredada. Dado que la relación "existe un camino dirigido de x a y" es transitiva, en los diagramas de Hasse solo se pueden representar relaciones transitivas. Por lo general, el diagrama está diseñado de manera que todos los vínculos apunten hacia arriba, y se omiten las flechas.
Por ejemplo, en el conjunto de todos los divisores de 12, se define la relación Rdiv mediante
x Rdiv y si x es un divisor de y, y además x≠y.
Formalmente, X = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } y Rdiv = { (1,2), (1,3), (1,4), (1 ,6), (1,12), (2,4), (2,6), (2,12), (3,6), (3,12), (4,12), (6,12 ) }. La representación de Rdiv como una matriz booleana se muestra en la tabla del medio; mientras que en la imagen de la izquierda se muestra la representación como diagrama de Hasse y como gráfico dirigido.
Las siguientes expresiones son equivalentes: x Rdiv y es verdadera. (x, y) ∈ Rdiv. Existe una ruta de x a y en el diagrama de Hasse que representa Rdiv. Existe una arista de x a y en el gráfico dirigido que representa Rdiv. En la matriz booleana que representa Rdiv, el elemento en la fila x, columna y es "".
Como otro ejemplo, se define la relación Rel en ℝ mediante:
x Rel y si x2+xy+y2=1.
La representación de Rel como un gráfico 2D genera una elipse (véase la imagen de la derecha). Dado que ℝ no es finito, no se puede utilizar ni un gráfico dirigido, ni una matriz booleana finita, ni un diagrama de Hasse para representar Rel.
Propiedades de las relaciones Algunas propiedades importantes que puede tener una relación sobre un conjunto son:
Reflexiva Para todos los , . Por ejemplo, ≥ es una relación reflexiva pero > no lo es.
Irreflexiva (o estricta) Para todos los , no se cumple que . Por ejemplo, > es una relación irreflexiva, pero ≥ no lo es.
Las 2 alternativas anteriores no son exhaustivas; por ejemplo, la relación roja que se muestra en el siguiente diagrama no es irreflexiva ni reflexiva, ya que contiene el par , pero no , respectivamente.
Simétrica Para todos los , si entonces . Por ejemplo, "es un pariente consanguíneo de" es una relación simétrica, porque es un pariente consanguíneo de si y solo si es un pariente consanguíneo de .
Antisimétrica Para todos los , si y entonces . Por ejemplo, ≥ es una relación antisimétrica; también lo es >, pero vaccuamente (la condición en la definición siempre es falsa).
Asimétrica Para todos los , si entonces no se cumple que . Una relación es asimétrica si y solo si es a la vez antisimétrica e irreflexiva.. Por ejemplo, > es una relación asimétrica, pero ≥ no lo es.
Nuevamente, las tres alternativas anteriores están lejos de ser exhaustivas. Por ejemplo, en el caso de los números naturales, la relación definida por no es simétrica (por ejemplo, 5R1, pero no 1R5) ni antisimétrica (por ejemplo, 6R4, pero también 4R6), y mucho menos asimétrica.
Transitiva Para todos los , si y entonces . Una relación transitiva es irreflexiva si y solo si es asimétrica. Lemma 1.1 (iv). This source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric". Por ejemplo, "es antepasado de" es una relación transitiva, mientras que "es padre de" no lo es.
Conexa Para todos los , si entonces o . Por ejemplo, en los números naturales, la relación < es conexa, mientras que "es un divisor de" no lo es (por ejemplo, ni 5R7 ni 7R5).
Fuertemente conexa Para todos los , o . Por ejemplo, en los números naturales, ≤ es una relación fuertemente conexa, pero < no lo es.
Propiedades de unicidad: InyectivaEstas propiedades también se generalizan a relaciones heterogéneas. (también llamada única por la izquierda) Para todos los , si y entonces . Por ejemplo, las relaciones verde y azul en el diagrama son inyectivas, pero la roja no lo es (ya que relaciona −1 y 1 con 1), ni la negra (ya que relaciona −1 y 1 con 0). . Funcional (también llamada única por la derecha,Kilp, Knauer and Mikhalev: p. 3. Las mismas cuatro definiciones aparecen a continuación:
definida por la derecha o univalente) Para todos los , si y entonces . Esta relación se llama función parcial. Por ejemplo, las relaciones roja y verde en el diagrama son funcionales, pero la azul no lo es (ya que relaciona 1 con −1 y 1), ni la negra (ya que relaciona 0 con −1 y 1).
Propiedades de totalidad:
Serial (también llamada total o total por la izquierda) Para todo , existe algún tal que . Esta relación se denomina función multivaluada. Por ejemplo, las relaciones representadas en color rojo y en verde en el diagrama son totales, pero la azul no lo es (ya que no relaciona −1 con ningún número real), ni la negra (ya que no relaciona 2 con ningún número real). Como otro ejemplo, > es una relación serial sobre números enteros. Pero no es una relación serial sobre los números enteros positivos, porque no hay en los números enteros positivos tales que .. Sin embargo, < es una relación serial entre los números enteros positivos, los números racionales y los números reales. Cada relación reflexiva es serial: para un determinado, se puede elegir un .
Sobreyectiva (también llamada total por la derecha) Para todo , existe un tal que . Por ejemplo, las relaciones verde y azul en el diagrama son sobreyectivas, pero la roja no lo es (ya que no relaciona ningún número real con −1), ni la negra (ya que no relaciona ningún número real con 2).
Combinaciones de propiedades
{|class="wikitable mw-collapsible" style="text-align:center;float:right;" |+ align="top"|Relaciones por sus propiedades |- ! ! ! ! ! ! |- ! Orden parcial
|Subconjunto |- ! Orden parcial estricto
|Subconjunto estricto |- ! Orden total
|Orden alfabético |- ! Orden total estricto
|Orden alfabético estricto |- ! Relación de equivalencia
|Igualdad
Las relaciones que satisfacen ciertas combinaciones de las propiedades anteriores son particularmente útiles y, por lo tanto, han recibido nombres propios.