thumb|La función G de Barnes representada a lo largo de la recta real. En matemática, la función G de Barnes G(z) es una función que extiende los superfactoriales a los números complejos. Está relacionada con la función gamma, la función K y la constante de Glaisher–Kinkelin, y fue llamada así en honor al matemático Ernest William Barnes.E. W. Barnes, "The theory of the G-function", Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264–314. Puede ser escrita en términos de la función gamma doble.
Formalmente, la función G de Barnes se define mediante el siguiente producto de Weierstrass:
donde es la constante de Euler–Mascheroni, exp(x) = ex es la función exponencial, y Π denota multiplicación (productorio).
Como función entera, G es de orden dos, y de tipo infinito. Esto se puede deducir de la expansión asintótica dada a continuación. Ecuación funcional y argumentos enteros La función G de Barnes satisface la ecuación funcional
con normalización G(1) = 1. Nótese la similidaridad entre la ecuación funcional de la función G de Barnes y la función Gamma de Euler:
La ecuación funcional implica que G toma los siguientes valores en argumentos enteros:
(en particular, ) y de este modo
donde denota la función gamma y K denota la función K. La ecuación funcional define únicamente la función G si la condición de convexidad,
es añadida.M. F. Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL, Astérisque 61, 235-249 (1979). Adicionalmente, la función G de Barnes satisface la fórmula de duplicación,
Valor en 1/2
Referencias
Enlaces externos
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