alt=NM-method|derecha|miniaturadeimagen| método NM El método NM' o método Naszodi-Mendonca' se puede aplicar en estadística, econometría, economía, sociología y demografía para construir contrafactuales tablas de contingencia. El método encuentra la matriz () que es "más cercana" a la matriz ( denominada la tabla semilla) en el sentido de ser ranked la misma pero con las totales de filas y columnas de una matriz objetivo. . Mientras que los totales de filas y columnas de son conocidos, la propia matriz puede ser desconocida.
Dado que la solución para la matriz es única, el método NM es una función: X, donde es un vector de una fila de tamaño , mientras que es un vector de una columna de tamaño .
El método NM fue desarrollado por Naszodi y Mendonca (2021) (y aplicada por primera vez por Naszodi y Mendonca (2019)) para resolver la matriz en problemas, donde la matriz no es una muestra de la población caracterizada por los totales de filas y columnas de la matriz , sino que representa otra población'.
El procedimiento de ajuste proporcional iterativo (IPF) también es una función:Sinkhorn, Richard (1964). “A Relationship Between Arbitrary Positive Matrices and Doubly Stochastic Matrices”. In: Annals of Mathematical Statistics 35.2, pp. 876–879.Bacharach, Michael (1965). “Estimating Nonnegative Matrices from Marginal Data”. In: International Economic Review 6.3, pp. 294–310. . Es la operación de encontrar la matriz ajustada ( ) que cumple un conjunto de condiciones similares a las que cumple la matriz construido con el método NM. Por ejemplo, matriz es el más cercano a la matriz pero con los totales de fila y columna de la matriz de destino .
, dónde ; ; ; ; .
El método NM fue desarrollado por Naszodi y Mendonca (2021) (y aplicado por primera vez por Naszodi y Mendonca (2019) ) para resolver la matriz en problemas, donde matriz no es una muestra de la población caracterizada por los totales de las filas y las columnas de la matriz , pero representa otra población.
Su aplicación tenía como objetivo de cuantificar los cambios intergeneracionales en la fuerza de la homofilia educativa y medir así el cambio histórico de la desigualdad social entre los diferentes grupos educativos en los EE. UU. entre 1980 y 2010. Se comprobó que la tendencia de la desigualdad tenía forma de U, lo que respalda la opinión de que con políticas sociales y económicas adecuadas se puede reducir la desigualdad.
Definición de la clasificación de matrices La cercanía entre dos matrices del mismo tamaño puede definirse de varias maneras. La distancia euclidiana, y la divergencia de Kullback-Leibler son dos ejemplos bien conocidos.
El método NM es consistente con una definición que se basa en el ordinal índice de Liu-Lu que es la versión ligeramente modificada del índice Coleman definido por la Ec. (15) en Coleman (1958). Según esta definición, la matriz es la más "cercana" a la matriz , si sus valores Liu-Lu son los mismos. En otras palabras, si están clasificadas igual por el índice Liu-Lu ordinal.
Si la matriz es una matriz 2-por-2', su índice de Liu-Lu escalar-valorado se define como , donde ; ; ; ; .
Siguiendo a Coleman (1958), este índice se interpreta como el "real menos esperado sobre máximo menos mínimo", donde es el valor real de la entrada de la matriz semilla ; es su valor esperado (entero) bajo los supuestos contrafactuales de que el total de filas y el total de columnas correspondientes de están predeterminados, mientras que su interior es aleatorio. Asimismo, es su valor mínimo si la asociación entre la variable fila y la variable columna de es no negativa. Por último, es el valor máximo de () para un total de filas y un total de columnas dados.
Para matrices de tamaño n por m' (, ), el índice de Liu-Lu fue generalizado por Naszodi y Mendonca (2021) a un índice matricial. Una de las precondiciones para la generalización es que la variable fila y la variable columna de la matriz tienen que estar ordenadas. Igualar el índice de Liu-Lu generalizado y valorado matricialmente de con el de la matriz es equivalente a dicotomizar su variable fila ordenada y su variable columna ordenada de maneras explotando la naturaleza ordenada de las variables fila y columna. Luego, igualando los índices originales, scalar-valued Liu-Lu indices de las matrices 2-por-2 obtenidas con las dicotomizaciones. Es decir, para cualquier par de (, y ) se impone la restricción , donde es la matriz con su siendo de tamaño , y su siendo de tamaño . Del mismo modo, es la matriz dada por la transposición decon su siendo de tamaño , y su siendo de tamaño .
Restricciones sobre los totales de fila y los totales de columna Matriz debe satisfacer no sólo sino también el par de restricciones sobre sus totales de fila y totales de columna: y .
Solución Suponiendo que para todos los pares de (donde </math>, y ), la solución para es única, determinista, y dada por una fórmula de forma cerrada.
Para matrices y de tamaño , la solución es .
Las otras 3 celdas de <math> X </math> están determinadas unívocamente por los totales de fila y los totales de columna. Así es como funciona el método NM para tablas de semillas de 2 por 2.
Para , y matrices de tamaño (, ), la solución se obtiene dicotomizando su variable fila ordenada y su variable columna ordenada de todas las formas significativas posibles antes de resolver número de problemas de forma 2 por 2. Cada problema se define para un par ( y ) con , y los totales de fila y columna objetivo: , y , respectivamente. Cada problema se resolverá por separado mediante la fórmula para . El conjunto de soluciones determina número de entradas de la matriz . Sus restantes elementos están determinados unívocamente por los totales de fila y columna objetivo.
A continuación, veamos cómo funciona el método NM si la matriz es tal que la segunda precondición de no se cumple para'' .
Si para todos los pares de , la solución para es también única, determinista y dada por una fórmula de forma cerrada. Sin embargo, el concepto correspondiente de clasificación matricial es ligeramente diferente del discutido anteriormente. Liu y Lu (2006) lo definen como LLhttps://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9bd5b48fe9ecf98c4e0fdcfd8cf15874c77842 , donde ; es el menor entero mayor o igual que .
Por último, ni el método NM, ni está definido si par tal que , mientras que para otro par de .
Un ejemplo numérico Considere la siguiente complementado con sus totales de filas y columnas y los objetivos, es decir, los y : Z 1 2 3 4 TOTAL OBJETIVO 1 240 2 235 3 185 4 140 TOTAL 210 230 185 175 800 OBJETIVO 1 000 Como primer paso del método NM, se multiplica por las matrices , y para cada par de ( , y ). Se obtienen las siguientes 9 matrices de tamaño 2-por-2 con sus totales de filas y columnas objetivo: ++ 12TOTALTARGET1120120240400290470560600TOTAL210590800TARGET4006001 000+12TOTALTARGET119050240400225030560600TOTAL440360800TARGET7003001 00012TOTALTARGET1220202404002405155560600TOTAL625175800TARGET9001001 00012TOTALTARGET1170305475700240285325300TOTAL210590800TARGET4006001 00012TOTALTARGET13401354757002100225325300TOTAL440360800TARGET7003001 00012TOTALTARGET1420554757002205120325300TOTAL625175800TARGET9001001 00012TOTALTARGET1200460660850210130140150TOTAL210590800TARGET4006001 00012TOTALTARGET1410250660850230110140150TOTAL440360800TARGET7003001 00012TOTALTARGET15659566085026080140150TOTAL625175800TARGET9001001 000 El siguiente paso es calcular el índice generalizado de Liu-Lu valorado matricialmente , (donde ) aplicando la fórmula del índice original de Liu-Lu valorado matricialmente scalar-valued Liu-Lu index a cada una de las 9 matrices: 0,39 0,54 0,62 0,53 0,44 0,47 0,73 0,61 0,45 Aparentemente, la matriz es positiva. Por lo tanto, se define el método NM. Resolviendo cada uno de los 9 problemas de la forma 2 por 2 se obtienen 9 entradas de la matriz . Sus otras 7 entradas están determinadas unívocamente por los totales de fila y columna del objetivo. La solución para es: 1 2 3 4 TOTAL 1 253,1 91,4 40,5 15,1 400 2 91,1 147,1 39,8 21,9 300 3 39,6 36,8 64,2 9,3 150 4 16,2 24,7 55,5 53,6 150 TOTAL 400 300 200 100 1 000
Otro ejemplo numérico tomado de Abbott et al. (2019) Considere la siguiente complementada con sus totales de fila y totales de columna y los objetivos, es decir, los y . : Z 1 2 3 TOTAL OBJETIVO 1 1 360 2 5 840 3 2 800 TOTAL 1 390 5 670 2 940 10 000 OBJETIVO 10 000 Como primer paso del método NM, se multiplica por las matrices , y para cada par de (, y ). Se obtienen las siguientes 4 matrices de tamaño 2-por-2 con sus totales de filas y columnas objetivo: ++ 1 2 TOTAL OBJETIVO 1 1 070 290 1 360 1 600 2 320 8 320 8 640 8 400 TOTAL 1 390 8 610 10 000 OBJETIVO 1 390 8 610 10 000 + 1 2 TOTAL OBJETIVO 1 1 340 20 1 360 1 600 2 5 720 2 920 8 640 8 400 TOTAL 7 060 2 940 10 000 OBJETIVO 7 060 2 940 10 000 1 2 TOTAL OBJETIVO 1 1 370 5 830 7 200 7 500 2 20 2 780 2 800 2 500 TOTAL 1 390 8 610 10 000 OBJETIVO 1 390 8 610 10 000 1 2 TOTAL OBJETIVO 1 6 620 580 7 200 7 500 2 440 2 360 2 800 2 500 TOTAL 7 060 2 940 10 000 OBJETIVO 7 060 2 940 10 000 El siguiente paso es calcular el índice generalizado de Liu-Lu valorado matricialmente , (donde ) aplicando la fórmula del índice original de Liu-Lu valorado matricialmente scalar-valued Liu-Lu index a cada una de las 4 matrices: 0,75 0,95 0,95 0,78 Aparentemente, la matriz es positiva. Por lo tanto, se define el método NM. Resolviendo cada uno de los 4 problemas de la forma 2-por-2 se obtienen 4 entradas de la matriz . Sus otras 5 entradas están determinadas unívocamente por los totales de fila y columna del objetivo. La solución para es: 1 2 3 TOTAL 1 1 101 476 24 1 600 2 271 4 819 809 5 900 3 18 375 2 107 2 500 TOTAL 1 390 5 670 2 940 10 000
Implementación El método NM se implementa en Excel,{ Visual Basic, R, y también en Stata'.
Aplicaciones El método NM puede aplicarse para estudiar diversos fenómenos, como el apareamiento selectivo, la movilidad intergeneracional como un tipo de movilidad social, la segregación residencial, el reclutamiento y la gestión del talento.
En todas estas aplicaciones, las matrices , y representan distribuciones conjuntas de entidades emparejadas uno a uno (por ejemplo, maridos y esposas, o hijos primogénitos y madres, o viviendas e inquilinos principales, o directores ejecutivos y empresas, o profesores de ajedrez y sus alumnos más talentosos) caracterizadas bien por una variable categórica dicotómica (por ejemplo, tomando los valores vegetariano/no vegetariano), bien por una variable categórica dicotómica (por ejemplo, tomando los valores vegetariano/no vegetariano). p. ej., toma de valores vegetariano/no vegetariano, Gran Maestro/no), o una variable categórica multinomial ordenada (p. ej., nivel de estudios finales, nivel de habilidad de los esquiadores, nivel de ingresos, categoría de la cuota de alquiler, calificación crediticia, títulos de la FIDE). Aunque el método NM tiene una amplia gama de aplicaciones, todos los ejemplos que se presentarán a continuación tratan del apareamiento asortativo a lo largo del nivel educativo. En estas aplicaciones, no se discute que se cumplan las dos precondiciones (de variable rasgo ordenada, y apareamiento asortativo positivo en todos los grupos educativos).