En matemáticas, el cálculo matricial es una notación especializada para realizar cálculo multivariable, especialmente sobre espacios de matrices. Recoge las distintas derivadas parciales de una única función con respecto a muchas variables, y/o de una función multivariable con respecto a una única variable, en vectores y matrices que pueden tratarse como entidades únicas. Esto simplifica enormemente operaciones como la búsqueda del máximo o el mínimo de una función multivariante y la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales. La notación empleada aquí se utiliza habitualmente en estadística e ingeniería, mientras que la notación de índice tensorial es la preferida en física.
Dos convenciones de notación opuestas dividen el campo del cálculo matricial en dos grupos distintos. Los dos grupos pueden distinguirse por si escriben la derivada de un escalar con respecto a un vector como un vector columna o como un vector fila. Ambas convenciones son posibles incluso cuando se hace la suposición común de que los vectores deben tratarse como vectores columna cuando se combinan con matrices (en lugar de vectores fila). Una única convención puede ser algo estándar en un único campo que utilice habitualmente el cálculo matricial (por ejemplo, la econometría, la estadística, la teoría de la estimación y el aprendizaje automático). Sin embargo, incluso dentro de un mismo campo, puede haber autores que utilicen convenciones opuestas. Los autores de ambos grupos suelen escribir como si sus convenciones específicas fueran estándar. La combinación de resultados de distintos autores sin comprobar cuidadosamente que se han utilizado notaciones compatibles puede dar lugar a graves errores. Las definiciones de estas dos convenciones y las comparaciones entre ellas se recogen en la sección de convenciones de maquetación.
Ámbito El cálculo matricial se refiere a una serie de notaciones diferentes que utilizan matrices y vectores para recoger la derivada de cada componente de la variable dependiente con respecto a cada componente de la variable independiente. En general, la variable independiente puede ser un escalar, un vector o una matriz, mientras que la variable dependiente también puede ser cualquiera de ellos. Cada situación diferente dará lugar a un conjunto diferente de reglas, o a un cálculo distinto, utilizando el sentido más amplio del término. La notación matricial es una forma cómoda de recoger las numerosas derivadas de forma organizada.
Como primer ejemplo, consideremos el gradiente del cálculo vectorial. Para una función escalar de tres variables independientes, , la gradiente es dada por la ecuación vectorial
donde representa un vector unitario en la dirección para . Este tipo de derivada generalizada puede verse como la derivada de un escalar, f, respecto a un vector , y su resultado puede recogerse fácilmente en forma vectorial.
Ejemplos más complicados incluyen la derivada de una función escalar con respecto a una matriz, conocida como matriz gradiente, que recoge la derivada con respecto a cada elemento de la matriz en la posición correspondiente de la matriz resultante. En ese caso, el escalar debe ser función de cada una de las variables independientes de la matriz. Como otro ejemplo, si tenemos un n-vector de variables dependientes, o funciones, de m variables independientes podríamos considerar la derivada del vector dependiente con respecto al vector independiente. El resultado podría recogerse en una matriz m×n formada por todas las combinaciones de derivadas posibles.
Hay un total de nueve posibilidades utilizando escalares, vectores y matrices. Observe que a medida que consideramos números más altos de componentes en cada una de las variables independientes y dependientes podemos quedarnos con un número muy grande de posibilidades. Los seis tipos de derivadas que pueden organizarse mejor en forma matricial se recogen en la siguiente tabla. +Tipos de derivadas matricialesTiposEscalarVectorMatrizEscalarVector Matriz Aquí hemos utilizado el término "matriz" en su sentido más general, reconociendo que los vectores y los escalares son simplemente matrices con una columna y una fila, respectivamente. Además, hemos utilizado letras negritas para indicar vectores y mayúsculas para matrices. Esta notación se utiliza en todo el texto.
Observe que también podríamos hablar de la derivada de un vector respecto a una matriz, o de cualquiera de las otras celdas sin rellenar de nuestra tabla. Sin embargo, estas derivadas se organizan de forma más natural en un tensor de rango superior a 2, por lo que no encajan perfectamente en una matriz. En las tres secciones siguientes definiremos cada una de estas derivadas y las relacionaremos con otras ramas de las matemáticas. Consulte la sección de convenciones de disposición para ver una tabla más detallada.
Relación con otras derivadas La derivada matricial es una notación conveniente para llevar la cuenta de las derivadas parciales para hacer cálculos. La derivada de Fréchet es la forma estándar en el entorno del análisis funcional para tomar derivadas con respecto a vectores. En el caso de que una función matricial de una matriz sea diferenciable en Fréchet, las dos derivadas coincidirán hasta la traslación de notaciones. Como ocurre en general con las derivadas parciales, algunas fórmulas pueden extenderse bajo condiciones analíticas más débiles que la existencia de la derivada como cartografía lineal aproximante.
Usos El cálculo matricial se utiliza para derivar estimadores estocásticos óptimos, que a menudo implican el uso de multiplicadores de Lagrange. Esto incluye la derivación de:
Filtro de Kalman Filtro de Wiener Algoritmo de maximización de esperanza para mezclas gaussianas Descenso gradiente
Notación Las derivadas vectoriales y matriciales presentadas en las secciones siguientes aprovechan al máximo la notación matricial, utilizando una única variable para representar un gran número de variables. En lo que sigue distinguiremos escalares, vectores y matrices por su tipo de letra. M(n,m) es el espacio de matrices reales n×m con n filas y m columnas. Dichas matrices se denotarán utilizando letras mayúsculas en negrita: A, X, Y, etc. Un elemento de M(n,1), es decir, un vector columna, se denota con una letra minúscula en negrita: a, x, y, etc. Un elemento de M(1,1) es un escalar, denotado con letra minúscula cursiva: a, t, x, etc. XT es la transposición de la matriz, tr(X) es la traza y det(X) o |X| es el determinante. Se supone que todas las funciones son de clase de diferenciabilidad C1, a menos que se indique lo contrario. Generalmente se utilizarán letras de la primera mitad del alfabeto (a, b, c, ...) para denotar constantes, y de la segunda mitad (t, x, y, ...) para denotar variables.
NOTA: Como se ha mencionado anteriormente, existen notaciones que compiten entre sí para presentar sistemas de derivadas parciales en vectores y matrices, y no parece que esté surgiendo todavía ningún estándar. Las dos secciones introductorias siguientes utilizan la convención de disposición del numerador simplemente por conveniencia, para evitar complicar demasiado la discusión. En la sección siguiente se tratan las convenciones de disposición con más detalle. Es importante tener en cuenta lo siguiente:
A pesar del uso de los términos "disposición del numerador" y "disposición del denominador", en realidad hay más de dos opciones notacionales posibles. La razón es que la elección de numerador frente a denominador (o, en algunas situaciones, numerador frente a mixto) puede hacerse independientemente para las derivadas escalar por vector, vector por escalar, vector por vector y escalar por matriz, y varios autores mezclan y combinan sus elecciones de disposición de diversas maneras. La elección de la disposición del numerador en las secciones introductorias no implica que ésta sea la opción "correcta" o "superior". Los distintos tipos de disposición tienen ventajas e inconvenientes. La combinación descuidada de fórmulas escritas en diferentes disposiciones puede dar lugar a errores graves, y la conversión de una disposición a otra requiere cuidado para evitar errores. Por ello, cuando se trabaja con fórmulas existentes, lo mejor es identificar el diseño utilizado y mantener la coherencia con él, en lugar de intentar utilizar el mismo diseño en todas las situaciones.
Alternativas La notación de índice tensorial con su convenio de suma de Einstein es muy similar al cálculo matricial, excepto en que sólo se escribe un componente cada vez. Tiene la ventaja de que se pueden manipular fácilmente tensores de rango arbitrariamente alto, mientras que los tensores de rango superior a dos son bastante difíciles de manejar con la notación matricial. Todo el trabajo aquí puede hacerse en esta notación sin usar la notación matricial de una sola variable. Sin embargo, muchos problemas en la teoría de la estimación y otras áreas de la matemática aplicada darían lugar a demasiados índices como para poder seguirlos adecuadamente, lo que apunta a favor del cálculo matricial en esas áreas. Además, la notación de Einstein puede ser muy útil para demostrar las identidades presentadas aquí (véase la sección sobre diferenciación) como alternativa a la notación típica de elementos, que puede resultar engorrosa cuando se llevan las sumas explícitas. Nótese que una matriz puede considerarse un tensor de rango dos.
Derivadas con vectores
Dado que los vectores son matrices con una sola columna, las derivadas matriciales más sencillas son derivadas vectoriales.
Las notaciones desarrolladas aquí pueden acomodar las operaciones usuales del cálculo vectorial identificando el espacio M(n,1) de n-vectores con el espacio euclídeo Rn, y el escalar M(1,1) se identifica con R. El concepto correspondiente del cálculo vectorial se indica al final de cada subsección.
NOTA: La discusión en esta sección asume la convención de disposición del numerador con fines pedagógicos. Algunos autores utilizan convenciones diferentes. En la sección sobre convenciones de disposición se trata esta cuestión con más detalle. Las identidades que se dan más abajo se presentan en formas que pueden usarse en conjunción con todas las convenciones de disposición comunes.
Vector-por-escalar La derivada de un vector , por un escalar x se escribe (en notación de disposición del numerador) como
En cálculo vectorial la derivada de un vector y respecto a un escalar x se conoce como vector tangente del vector y, . Nótese aquí que y: R1 → Rm.
Ejemplo. Ejemplos sencillos de ello son el vector velocidad en el espacio euclídeo, que es el vector tangente del vector posición (considerado en función del tiempo). Asimismo, la aceleración es el vector tangente de la velocidad.
Escalar-por-vector La derivada de un escalar y por un vector , es escrito (en notación de disposición del numerador) como
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar f en el espacio Rn (cuyas coordenadas independientes son las componentes de x) es el transpuesto de la derivada de un escalar por un vector.
Por ejemplo, en física, el campo eléctrico es el gradiente vectorial negativo del potencial eléctrico.
La derivada direccional de una función escalar f(x) del vector espacial x en la dirección del vector unitario u (representado en este caso como un vector columna) se define utilizando el gradiente de la siguiente manera.
Utilizando la notación que acabamos de definir para la derivada de un escalar con respecto a un vector podemos reescribir la derivada direccional como Este tipo de notación será útil para demostrar reglas de producto y reglas en cadena que resultan similares a las que conocemos para la derivada escalar.
Vector-por-vector