thumb|upright=1.5|Ejemplo que muestra la conmutatividad de la suma: 3 + 2 = 2 + 3=5 En matemáticas, la propiedad conmutativa o conmutatividad es una propiedad fundamental que tienen algunas operaciones según la cual el resultado de operar dos elementos no depende del orden en el que se toman. Esto se cumple en la adición y la multiplicación ordinarias: el orden de los sumandos no altera la suma, o el orden de los factores no altera el producto.
La conmutatividad de las operaciones elementales de sumar y multiplicar ya era conocida implícitamente desde la Antigüedad, aunque no fue llamada así hasta principios del , época en que las matemáticas contemporáneas empezaban a formalizarse. Las sucesivas ampliaciones del concepto de número (números naturales, números enteros, números racionales, números reales) ampliaron el alcance de las operaciones de sumar y multiplicar, pero en todas ellas se preserva la conmutatividad. Esta propiedad también se satisface en muchas otras operaciones, como la suma de vectores, polinomios, matrices, funciones reales, etc., o el producto de polinomios o de funciones reales.
En contraposición a la adición y la multiplicación de números, la sustracción y la división no son operaciones conmutativas. Entre las operaciones no conmutativas cabe destacar también la composición de funciones, el producto de matrices y el producto vectorial.
A pesar de ser una propiedad aplicada básicamente a las operaciones matemáticas, la conmutatividad o la no conmutatividad son relevantes en otros campos cercanos como la lógica proposicional y algunas operaciones de teoría de conjuntos, y en algunas aplicaciones físicas tales como el principio de incertidumbre de la mecánica cuántica. Fuera del ámbito científico, también se pueden encontrar ejemplos en la vida cotidiana, ya que la ejecución consecutiva de dos acciones puede tener un resultado diferente según el orden en que se ejecuten.
Definición De hecho, la conmutatividad es un caso particular del concepto de función simétrica. En efecto, una operación binaria en M no es más que una aplicación μ: M × M M, y afirmar que esta es simétrica, μ(x,y) = μ(y,x), es exactamente lo mismo que lo que requiere la propiedad conmutativa.
Dada una operación binaria un conjunto M, se dice que dos elementos x, y de M conmutan (o que son permutables) cuando se cumple que xy = yx. Así pues, una operación es conmutativa cuando dos elementos cualesquiera conmutan.
Ejemplos básicos: adición y multiplicación de números La importancia fundamental de la propiedad conmutativa radica en el hecho de que la adición y la multiplicación de números naturales Por ejemplo:
Expresado de manera general: para cualquier x, y de N:
La ampliación del sistema de los números naturales a otros sistemas numéricos: números enteros (), números racionales (), números reales (), y números complejos (), se hace extendiéndose las operaciones de adición y multiplicación, y de manera que estas siguen siendo conmutativas. Por ejemplo:
Esto no quiere decir que cualquier ampliación de un sistema numérico necesariamente vaya a respetar las propiedades previas. El ejemplo más importante de este hecho viene dado por el cuerpo de los cuaterniones H, que, al igual que el de los números complejos, también es una extensión del cuerpo de los números reales, pero con tres unidades imaginarias i, j, k en lugar de una. La multiplicación de H no es conmutativa, ya que por ejemplo i·j = k, es diferente de j·i = -k.
En contraste con las operaciones de adición y multiplicación, las operaciones que las permiten invertir, sustracción y división, son claramente no conmutativas. Basta poner un par de ejemplos: La substracción no es conmutativa, ya que . La división no es conmutativa, ya que .
Nótese que para poder efectuar estos cálculos hay que trabajar en el sistema numérico apropiado: Z para poder restar, y Q para poder dividir por un número diferente de 0.
Propiedades
Es importante destacar que para sacar provecho de la conmutatividad de una operación es necesario que ésta sea asociativa, ya que en este caso la composición de n elementos x1, …, xn se puede representar (sin paréntesis) como x1…xn. Por ejemplo (Teorema de conmutatividad) Si una operación es asociativa y conmutativa entonces la composición de n elementos se puede calcular en para cualquier permutación (y 1,..., y n) de los índices (1,..., n ). Si una operación asociativa y dos elementos x, y conmutan, entonces también conmutan sus «potencias»: , para cualquier m y n números naturales no nulos. En particular, todas las «potencias» (n> 0) conmutan entre ellas. Sea operación asociativa en M. Si x conmuta con y y con z, entonces también conmuta con yz
Centro
Dado un conjunto M con una operación interna, el centro de M es el subconjunto formado por los elementos que conmutan con todos los demás; a veces se representa por Z(M). Afirmar que la operación es conmutativa significa que el centro de M es todo M.
Como consecuencia de la última de las propiedades anteriores, si la operación es asociativa entonces el centro de M es una parte estable para la operación (es decir, si dos elementos x, y pertenecen al centro entonces x también pertenece.)
Estructuras algebraicas y conmutatividad
Una estructura algebraica viene dada por uno o varios conjuntos dotados de operaciones binarias u operaciones externas. En la definición de cada tipo de estructura algebraica impone que estas operaciones cumplan ciertas propiedades, entre las que puede estar la propiedad conmutativa. Cuando en alguna de estas operaciones no se impone que satisfaga la propiedad conmutativa pero sin embargo la satisface, entonces se añade el adjetivo conmutativo el nombre de la estructura en cuestión. Un magma es un conjunto dotado de una operación binaria. Cuando esta es conmutativa se llama magma conmutativo. Un monoide es un conjunto dotado de una operación asociativa con elemento neutro. Si también es conmutativa, se dice monoide conmutativo. Por ejemplo, (N,+) y (N,·) son monoides conmutativos. Un grupo es un conjunto dotado de una operación asociativa, con elemento neutro, y donde todo elemento es simetritzable. Si la operación es conmutativa se llama grupo conmutativo o grupo abeliano. Por ejemplo, (Z,+) es un grupo conmutativo. Un anillo es un conjunto A dotado de dos operaciones binarias, habitualmente denotadas con notación aditiva (+) y notación multiplicativa (·). Respecto a la primera, (A,+) es un grupo conmutativo. Respecto a la segunda, (A,·) es un monoide. Además, la segunda debe ser distributiva respecto a la primera. Cuando la multiplicación es conmutativa, se llama anillo conmutativo. Por ejemplo, (Z,+, ·) es un anillo conmutativo. Un cuerpo es un anillo donde 0≠1 y todo elemento no nulo es invertible. Un cuerpo se llama cuerpo conmutativo cuando la multiplicación es conmutativa. Por ejemplo, con la suma y producto habituales, Q, R y C son cuerpos conmutativos, mientras que el cuerpo de los cuaterniones H es un cuerpo no conmutativo. (Nótese, sin embargo, que algunos autores prefieren requerir la conmutatividad del producto dentro de la definición de cuerpo, en cuyo contexto los cuerpos no conmutativos son llamados anillos de división.) Un espacio vectorial sobre un cuerpo K es un conjunto E dotado de una adddició respecto a la que (E,+) es un grupo conmutativo, y de una operación externa que permite multiplicar elementos de E (vectores) para elementos de K (escalares). Si en lugar de un cuerpo se considera un anillo la estructura resultante se llama módulo. Dado un cuerpo conmutativo K (o, más generalmente, un anillo conmutativo), una K-álgebra es un conjunto A dotado de una estructura de K-espacio vectorial (K-módulo si K es un anillo) y de una segunda operación binaria, usualmente representada con notación multiplicativa. Cuando esta operación es conmutativa se llama K-álgebra conmutativa. Por ejemplo, C y H son R-álgebras asociativas y unitarias; la primera es conmutativa y la segunda no. Otro ejemplo de gran importancia es el conjunto de los polinomios en una variable con coeficientes en K, K[X], que con las operaciones habituales de suma y producto de polinomios y de producto por escalares es una K-álgebra asociativa, conmutativa y unitaria.
Hay, sin embargo, un caso especial en el que el adjetivo conmutativo no tiene exactamente el mismo significado que en los casos anteriores:
Una K-álgebra de Lie es una K-álgebra cuyo producto, usualmente denotado por (x,y) [x,y], satisface las propiedades de ser alternado ([x,x] = 0 para todo x) y la identidad de Jacobi. Se dice que es una K-álgebra de Lie conmutativa cuando el producto de dos elementos cualesquiera es nulo: [x,y]=0.
El adjetivo conmutativo aparece también en el nombre de una rama del álgebra: el álgebra conmutativa, que estudia los anillos conmutativos y sus módulos.
Historia
right|thumb|upright=1.5|El primer uso conocido del término «conmutativo» fue en un artículo de servos en francés, en 1814. Los primeros usos implícitos de la propiedad conmutativa se remontan a la Antigüedad. Los egipcios utilizaban la propiedad conmutativa de la multiplicación para simplificar el cálculo de productos. En la Antigua Grecia, Euclides asumió la propiedad conmutativa de la multiplicación en su obra Elementos. Los usos formales de la propiedad conmutativa aparecieron a finales del y los inicios del XIX, cuando los matemáticos empezaron a trabajar en el campo de la teoría de funciones.
La primera utilización documentada del adjetivo conmutativo fue en un artículo de François Servois de 1814 los Annales de Gergonne, donde aparece la expresión en francés conmutativas entre ellas para describir, en la terminología actual, el hecho de que dos funciones conmutan. En 1841 Duncan Farquharson Gregory usó la expresión en inglés commutative law en su libro Examples of the processes of the differential and integral calculus para referirse a la posibilidad de conmutar dos operaciones. Este uso fue recogido poco después, en 1844, por George Boole en un artículo en Philosophical Transactions.
Otros usos y ejemplos de conmutatividad
Lógica proposicional La propiedad conmutativa también es aplicable a algunas operaciones de la lógica proposicional. En lógica proposicional, la conmutación se encuentra en algunas reglas de sustitución:
y , donde "" es un símbolo metalógico que significa «en una demostración formal, se puede sustituir con...».
Conectivos de funciones de verdad La conmutatividad es una propiedad de algunas conectivas lógicas de la lógica proposicional, que se expresa con equivalencias lógicas:Conmutatividad de la conjunciónConmutatividad de la disyunciónConmutatividad de la implicación (también llamada ley de la permutación)Conmutatividad de la equivalencia (también llamada ley conmutativa completa de la equivalencia)
Teoría de conjuntos La unión y la intersección de conjuntos son operaciones conmutativas. Aunque estas operaciones se pueden efectuar con familias arbitrarias de conjuntos, cuando se trata de dos conjuntos estas propiedades se expresan .
La suma y el producto de cardinales son operaciones conmutativas. Si i son dos cardinales, entonces . Esto implica en particular que la suma y el producto de números naturales (es decir, los cardinales de los conjuntos finitos) son conmutativas. La conmutatividad de la suma es consecuencia de la de la unión de conjuntos. La conmutatividad del producto es consecuencia de que un producto cartesiano de conjuntos tiene el mismo número de elementos independientemente de cómo se realice este producto.
En contraste con los cardinales, en general la suma y el producto de ordinales transfinitos no son conmutativas. Por ejemplo, si ω es el ordinal de N, 1 + ω ≠ ω + 1.
Otras operaciones algebraicas Además de la adición y multiplicación de números, hay otras operaciones análogas que son conmutativas.