En matemática, específicamente en teoría de categorías, una subcategoría de una categoría es una categoría cuyos objetos y morfismos existen en , y que hereda la composición y los morfismos identidad de . Intuitivamente, una subcategoría de se obtiene al remover algunos de los objetos y morifsmos de .
Definición Sea una categoría. Decimos que es una subcategoría de si está dada por una subcolección de objetos de , y una subcolección de morfismos de , , tales que:
para todo objeto , su morifsmo identidad está en , para todo morfismo en , tanto como están en , para cualquier pareja de morfismos , el compuesto está en .
Estas condiciones garantizan que sea una categoría, y dan lugar a un funtor fiel , llamado el funtor inclusión, que toma los objetos y morfismos a sí mismos dentro de .
Adicionalmente, decimos que una subcategoría es completa, si para cualesquiera objetos y en , todo morfismo en es también un morfismo en ; es repleta si para todo objeto , e isomorfismo en , y ; y por último, es amplia si todo objeto es también un objeto de .
Ejemplos
La categoría de conjuntos finitos forma una subcategoría completa de la categoría de conjuntos. La categoría de grupos Abelianos forma una subcategoría completa de la categoría de grupos. La categoría de matrices con entradas en los racionales diádicos forma una subcategoría amplia de la categoría de matrices con entradas en los reales.
Categoría:Teoría de categorías