En matemáticas, el algoritmo de Euclides, o algoritmo euclidiano, es un método eficiente para calcular el máximo común divisor (MCD) de dos números enteros, el número más grande que los divide a ambos sin dejar resto. Lleva el nombre del antiguo matemático griego Euclides, quien lo describió por primera vez en Elementos (). Es un ejemplo de un algoritmo, un procedimiento paso a paso para realizar un cálculo de acuerdo con reglas bien definidas, y es uno de los algoritmos más antiguos que se siguen utilizando. Se puede usar para reducir fracciones a su forma más simple y es parte de muchos otros cálculos teórico-numéricos y criptográficos.
El algoritmo euclidiano se basa en el principio de que el máximo común divisor de dos números no cambia si el número más grande se reemplaza por su diferencia con el número más pequeño. Por ejemplo, 21 es el MCD de 252 y 105 (ya que 252 = 21 × 12 y 105 = 21 × 5), y el mismo número 21 también es el MCD de 105 y 252 − 105 = 147. Dado que este reemplazo reduce el más grande de los dos números, al repetir este proceso se obtienen pares de números sucesivamente más pequeños hasta que los dos números se vuelven iguales. Cuando eso ocurre, son el MCD de los dos números originales. Al invertir los pasos o usar el algoritmo de Euclides extendido, el MCD se puede expresar como una combinación lineal de los dos números originales, es decir, la suma de los dos números, cada uno multiplicado por un número entero (por ejemplo, 21 = 5 × 105 + (−2) × 252). El hecho de que el MCD siempre se pueda expresar de esta manera se conoce como la identidad de Bézout.
La versión del algoritmo euclidiano descrita anteriormente (y por Euclides) puede requerir muchos pasos de resta para encontrar el MCD cuando uno de los números dados es mucho más grande que el otro. Una versión más eficiente del algoritmo acorta estos pasos, en su lugar se reemplaza el más grande de los números por su resto al dividirlo por el más pequeño de los dos (con esta versión, el algoritmo se detiene al alcanzar un resto cero). Con esta mejora, el algoritmo nunca requiere más pasos que cinco veces el número de dígitos (base 10) del número entero más pequeño. Esto fue demostrado por Gabriel Lamé en 1844 (teorema de Lamé), y marca el comienzo de la teoría de la complejidad informática. Se desarrollaron métodos adicionales para mejorar la eficiencia del algoritmo en el .
El algoritmo euclidiano tiene muchas aplicaciones teóricas y prácticas. Se utiliza para reducir fracciones a su forma más simple y para realizar divisiones en aritmética modular. Los cálculos que utilizan este algoritmo forman parte de los protocolos criptográficos que se usan para proteger las comunicaciones de Internet, y en los métodos para romper estos sistemas criptográficos mediante la factorización de grandes números compuestos. El algoritmo euclidiano se puede usar para resolver ecuaciones diofánticas, como encontrar números que satisfagan múltiples congruencias de acuerdo con el teorema chino del resto, para construir fracciones continuas y para encontrar aproximaciones racionales precisas a números reales. Finalmente, se puede utilizar como una herramienta básica para demostrar teoremas en la teoría de números, como el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange y la unicidad de las factorizaciones primas.
Algoritmo original de Euclides lang=es|thumb|AB y CD los segmentos conmensurables. thumb|Ejemplo del algoritmo original de Euclides. En la concepción griega de la matemática, los números se entendían como magnitudes geométricas. Un tema recurrente en la geometría griega es el de la conmensurabilidad de dos segmentos: dos segmentos (números) AB y CD son conmensurables cuando existe un tercer segmento PQ que cabe exactamente un número entero de veces en los primeros dos; es decir, PQ «mide» (mensura: medida) a los segmentos AB y CD.
No cualquier par de segmentos es conmensurable, como encontraron los pitagóricos cuando establecen que el lado y la diagonal de un cuadrado no son conmensurables, pero en el caso de dos segmentos conmensurables se desea hallar la mayor medida común posible.
Euclides describe en la proposición I.2 en su Libro VII de sus Elementos un método que permite hallar la mayor medida común posible de dos números (segmentos) que no sean primos entre sí, aunque de acuerdo a la época tal método se explica en términos geométricos, lo que se ilustra en la siguiente transcripción.
En lenguaje moderno, el algoritmo se describe como sigue: Dados dos segmentos AB y CD (con AB>CD), restamos CD de AB tantas veces como sea posible. Si no hay residuo, entonces CD es la máxima medida común. Si se obtiene un residuo EA, este es menor que CD y podemos repetir el proceso: restamos EA tantas veces como sea posible de CD. Si al final no queda un residuo, EA es la medida común. En caso contrario obtenemos un nuevo residuo FC menor a EA. El proceso se repite hasta que en algún momento no se obtiene residuo. Entonces el último residuo obtenido es la mayor medida común.
El hecho de que los segmentos son conmesurables es clave para asegurar que el proceso termina tarde o temprano.
Algoritmo de Euclides tradicional
Al dividir entre (números enteros), se obtiene un cociente y un resto . Es posible demostrar que el máximo común divisor de y es el mismo que el de y . Sea c el máximo común divisor de y , como y divide a y a , divide también a . Si existiera otro número mayor que que divide a y a , también dividiría a , por lo que no sería el mcd de y , lo que contradice la hipótesis). Este es el fundamento principal del algoritmo. También es importante tener en cuenta que el máximo común divisor de cualquier número y es precisamente . Para fines prácticos, la notación significa máximo común divisor de y .
Según lo antes mencionado, para calcular el máximo común divisor de 2366 y 273 se puede proseguir de la siguiente manera: PasoOperaciónSignificado12366 dividido entre 273 es 8 y sobran 1822273 dividido entre 182 es 1 y sobran 913182 dividido entre 91 es 2 y sobra 0 La secuencia de igualdades implican que . Dado que , entonces se concluye que . Este mismo procedimiento se puede aplicar a cualesquiera dos números naturales. En general, si se desea encontrar el máximo común divisor de dos números naturales y , se siguen las siguientes reglas: Si entonces y el algoritmo termina En otro caso, donde es el resto de dividir entre . Para calcular se utilizan estas mismas reglas
Asuma que llamamos y . Aplicando estas reglas se obtiene la siguiente secuencia de operaciones: PasoOperaciónSignificado1 dividido entre es y sobran 2 dividido entre es y sobran 3 dividido entre es y sobran dividido entre es y sobran dividido entre es y sobra Como la sucesión de residuos va disminuyendo, al final un residuo tiene que ser cero y es en ese momento cuando el algoritmo termina. El máximo común divisor es precisamente (el último residuo que no es cero).
Generalización En realidad, el algoritmo de Euclides funciona no sólo para los números naturales, sino para cualquier elemento en el que exista una "división con residuo". A este tipo de divisiones se les llama divisiones euclidianas y a los conjuntos donde se puede definir dicha división se les llama dominios euclídeos. Por ejemplo, el conjunto de los números enteros y el de los polinomios con coeficientes racionales son dominios euclídeos porque podemos definir una división con residuo (véase División polinomial). De esta manera, se puede calcular el máximo común divisor de dos números enteros o de dos polinomios.
Por ejemplo, para calcular el máximo común divisor de los polinomios y el algoritmo de Euclides sugiere la siguiente secuencia de operaciones: PasoOperaciónSignificado1 dividido entre es y sobra 2 dividido entre es y sobra 3 dividido entre es y sobra 0 De esta manera se concluye que su máximo común divisor es .
Descripción formal Se puede expresar este algoritmo de manera más formal usando pseudocódigo. En este caso la expresión "" significa "el residuo de dividir entre " (véase Aritmética modular).
Vale la pena notar que este algoritmo no es eficiente ser implementado directamente en una computadora, ya que requeriría memorizar todos los valores de .
Algoritmo de Euclides extendido El algoritmo de Euclides extendido permite, además de encontrar un máximo común divisor de dos números enteros y , expresarlo como la mínima combinación lineal de esos números, es decir, encontrar números enteros y tales que . Esto se generaliza también hacia cualquier dominio euclidiano.
Fundamentos Existen varias maneras de explicar el algoritmo de Euclides extendido, una de las más comunes consiste en la siguiente: Usar el algoritmo tradicional de Euclides. En cada paso, en lugar de " dividido entre es y de resto " se escribe la ecuación (véase algoritmo de la división). Se despeja el resto de cada ecuación. Se sustituye el resto de la última ecuación en la penúltima, y la penúltima en la antepenúltima y así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación, y en todo paso se expresa cada resto como combinación lineal.
Sin embargo, en aras de la comprensión y memorización de este algoritmo, es conveniente conocer la siguiente caracterización. Para multiplicar dos matrices de tamaño se usa la siguiente fórmula (véase Producto de matrices):
Supóngase que se utiliza el algoritmo de Euclides tradicional para calcular los valores y que ahí se describen. Por cada valor calculado se puede formar la matriz . Usando la ecuación de manera repetida se puede calcular el producto de las primeras matrices de este tipo:
Resulta ser que los valores y tienen la propiedad de que , es decir, expresan a como una combinación lineal de y . Particularmente, como entonces se tiene , lo cual es la solución del problema. Esta propiedad no debería ser sorprendente, pues esta multiplicación de matrices equivale al método antes descrito donde se substituye cada ecuación en la anterior. Es importante calcular en ese mismo orden. La matriz aparece en el extremo derecho y la matriz en el izquierdo.
Regresando al primer ejemplo, la sucesión de cocientes es , y . Entonces se puede calcular
Utilizando el primer renglón de esta matriz se puede leer que , es decir, se ha encontrado la manera de expresar al máximo común divisor de 2366 y 273 como una combinación lineal.
Descripción formal Para expresar el algoritmo de Euclides extendido es conveniente notar la manera en que se calculan los valores y con la multiplicación de matrices:
De esta manera y además . Por lo tanto el algoritmo en pseudocódigo se puede expresar como sigue:
Aplicaciones Simplificar fracciones Al momento de hacer cálculos con fracciones, es de gran importancia saber cómo simplificarlas. Por ejemplo, la fracción es equivalente con (véase Número racional). De manera más general, siempre que . Para reducir una fracción cualquiera , sólo se necesita dividir y entre su máximo común divisor.
Por ejemplo, si se desea reducir , primero se usa el algoritmo de Euclides para encontrar . Se hacen las divisiones y . Luego entonces se concluye que .
Fracciones continuas La sucesión de divisiones que se efectúan al seguir el algoritmo de Euclides puede ser utilizada para expresar una fracción cualquiera como fracción continua. Esto se debe a que si y , entonces
Por ejemplo, para encontrar el máximo común divisor de y el algoritmo genera la siguiente secuencia de divisiones: PasoOperaciónSignificado193164 dividido entre 5826 es 15 y sobran 577425826 dividido entre 5774 es 1 y sobran 5235774 dividido entre 52 es 111 y sobran 2452 dividido entre 2 es 26 y sobra 0
Todas estas ecuaciones las podemos hacer parecidas a la ecuación :
Si se sustituye la segunda ecuación en la primera, se obtiene
Si se repite este proceso de substitución entonces se obtiene la expresión deseada:
De manera más general, la fracción continua encontrada con este algoritmo siempre es de la forma
Inversos módulo m