En matemáticas, particularmente en geometría diferencial, una superficie de Zoll, llamada así por Otto Zoll, es un tipo de superficie homeomorfa con la esfera, equipada con una variedad de Riemann cuyas líneas geodésicas son todas cerradas y de igual longitud. Si bien la métrica usual de la esfera unitaria en S2 obviamente posee esta propiedad, también tiene una familia de dimensiones infinitas de deformaciones geométricamente distintas que siguen siendo superficies de Zoll. En particular, la mayoría de las superficies de Zoll no tienen curvatura constante.
Zoll, un estudiante de David Hilbert, descubrió los primeros ejemplos no triviales.
Ejemplos Una esfera ordinaria en el espacio con la métrica euclídea estándar es, obviamente, una superficie de Zoll, pero la propiedad requerida también la posee una familia de deformaciones de dimensión infinita de esta métrica. La siguiente afirmación implica que existen ejemplos de superficies de Zoll entre las superficies de revolución:
Sea una función suave e impar. Entonces, una esfera con la métrica
definida en coordenadas polares es una superficie de Zoll.
Este resultado se deduce de la existencia de integrales explícitas del flujo geodésico para dichas métricas.
El siguiente resultado proporciona ejemplos no simétricos:Guillemin, V.: "The Radon transform on Zoll surfaces". Advances in Mathematics 22 (1976), 85–119.
Para cualquier función suave e impar en la esfera unitaria , existe una familia uniparamétrica de factores conformes tales que es una superficie de Zoll y .
La demostración utiliza el teorema de la función implícita generalizada, llamado teorema de Nash-Moser.
Véase también Transformada de Funk, cuya motivación original fue describir las métricas de Zoll en la esfera.
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos Pera de Tannery, un ejemplo de superficie de Zoll donde todas las geodésicas cerradas (hasta los meridianos) tienen forma de ocho curvado.
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