thumb|right|200px|El símbolo de infinito ∞ (Unicode U+221E), también llamado lemniscata, en diferentes tipos de letra.
El concepto de infinito (símbolo: ) aparece en varias ramas de la matemática, la filosofía y la astronomía, en referencia a una cantidad sin límite o sin final, contrapuesto al concepto de finitud.
En matemáticas el infinito aparece de diversas formas: en geometría, el punto al infinito en geometría proyectiva y el punto de fuga en geometría descriptiva; en análisis matemático, los límites infinitos; y en teoría de conjuntos como números transfinitos.
Teoría de conjuntos Los conjuntos finitos tienen una propiedad «intuitiva» que los caracteriza: «dada una parte propia de los mismos, esta contiene un número de elementos menor que todo el conjunto». Es decir, no puede establecerse una biyección entre una parte propia del conjunto finito y todo el conjunto. Sin embargo, esa propiedad «intuitiva» de los conjuntos finitos no la tienen los conjuntos infinitos, y formalmente se dice que:
La idea de cardinalidad de un conjunto se basa en la noción anterior de biyección. De dos conjuntos entre los que se puede establecer una biyección se dice que tienen la misma cardinalidad. Para un conjunto finito su cardinalidad puede representarse por un número natural. Por ejemplo, el conjunto {manzana, pera, durazno} tiene 3 elementos. Esto significa de modo más formal que se puede establecer una biyección entre tal conjunto y el número 3 que es el conjunto {0,1,2}:
Dicho de otra forma, es posible hacer parejas (0, manzana), (1, pera), (2, durazno) de modo que cada elemento de los dos conjuntos se utilice exactamente una vez. Cuando es posible establecer tal relación «uno a uno» entre dos conjuntos se dice que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad, lo cual, para conjuntos finitos, equivale a que tengan el mismo número de elementos.
Primera definición positiva de conjunto infinito La primera definición positiva de conjunto infinito fue dada por Georg Cantor y se basa en la siguiente observación: Si un conjunto S es finito y T es un subconjunto propio, no es posible construir una biyección entre S y T. Por ejemplo, si S={1,2,3,4,5,6,7,8} y T={2,4,6,8} no es posible construir una biyección entre S y T, porque de ser así tendrían la misma cardinalidad (el mismo número de elementos).
Un conjunto es infinito si es posible encontrar un subconjunto propio del mismo que tenga la misma cardinalidad que el conjunto original. Consideremos el conjunto de los números naturales N={1,2,3,4,5,...}, el cual es un conjunto infinito. Para verificar tal afirmación es necesario encontrar un subconjunto propio y construir una biyección entre ambos. Para este caso, consideremos el conjunto de enteros positivos pares P={2,4,6,8,10,...}. El conjunto P es un subconjunto propio de N, y la regla de asignación es una biyección:
ya que a todo elemento de N le corresponde un único elemento de P y viceversa.
Números ordinales infinitos
Los números ordinales sirven para notar una posición en un conjunto ordenado (primer, segundo, tercer elemento...). El ejemplo más elemental es el de los números naturales, que se definen rigurosamente así: Se nota el conjunto vacío:
se nota el conjunto que solo contiene :
luego se nota el conjunto que solo contiene y :
Y así sucesivamente:
Por construcción, 0 está incluido en 1, quien a su vez está incluido en 2, ya que obviamente:
La inclusión permite convertir a los ordinales en un conjunto bien ordenado (dos elementos distintos siempre se pueden comparar, y añadiendo la igualdad daría un orden total) entre estos conjuntos que se prefiere, por costumbre, escribir «<», lo que da las relaciones 0<1<2<3. Decir que un ordinal es menor (estrictamente) que otro significa, cuando se les considera a ambos como conjuntos, que está incluido en el otro.
Si a y b son ordinales, entonces aUb, la unión de los conjuntos, también es un ordinal. En particular, si son ordinales finitos (conjuntos finitos) correspondientes a los naturales a y b, entonces aUb corresponde al mayor de los dos, a o b. En general, si los conjuntos ai son ordinales, donde i toma todos los valores de un conjunto I, entonces a=Uai también lo será. Y si el conjunto I no es finito, tampoco lo será a. Así obtendremos ordinales (o sea números) infinitos.
Con el fin de formalizar adecuadamente la discisión, es necesario definir rigurosamente la noción de «infinito», para poderlo aplicar a los ordinales. Dos conjuntos bien ordenados A y B son isomorfos (con relación al orden) si existe una biyección f entre ambos que respeta el orden: si a<a en A, entonces f(a)<f(a) en B. Resulta obvio constatar que si A es un conjunto ordenado con n elementos (n entero natural) entonces A es isomorfo an={0,1,2,...,n-1}. Basta con renombrar cada elemento de A para obtener A = {a0, a1, a2, ..., an-1}. Un isomorfismo es meramente un cambio de apelación. Diremos que un ordinal es finito si cada una de sus partes no vacías tiene un elemento máximo. Por lo tanto todo natural es un ordenal finito. La intuición nos dice que no hay otros ordenales finitos. Lógicamente, diremos que un conjunto ordenado es finito si es isomorfo a un ordinal finito, o sea a un natural.
Para introducir los ordinales infinitos, es preciso dar ahora la definición exacta de un ordinal: Un conjunto A totalmente ordenado (por la inclusión) es un ordinal si y solo si cada elemento de A es también un subconjunto de A
Ya vimos que es el caso para los naturales: Por ejemplo, el conjunto 2={0,1} admite 1={0}, como elemento y por lo tanto también como subconjunto.
Primer ordinal infinito Ya hemos visto que una unión cualquiera de ordinales es un ordinal. Si tomamos una unión finita de ordinales finitos, fabricamos un ordinal finito. Para obtener el primer ordinal infinito tenemos que reunir un número no finito de ordinales finitos. Haciéndolo, siempre caemos en el mismo conjunto, construido al reunir todos los ordinales finitos, es decir los naturales. El conjunto de todos los naturales, ℕ, es pues el primer ordinal infinito, lo que no debería sorprender, y lo notamos en este contexto ω (omega).
Para visualizar los ordinales, resulta muy práctico representar cada uno por un punto de una sucesión creciente convergente, como por ejemplo un=1−1/(n+1). Esto da algo semejante a: X__________X_________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX........
Escojamos un punto de la sucesión, y miremos cuantos puntos están más a la izquierda. En el ejemplo, hay cuatro, y por lo tanto se trata de u4, lo que corresponde al ordinal 4. Para representar el ordinal , resulta natural añadir a la sucesión previa un punto «O» situado exactamente en el límite de la sucesión: X__________X_________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX...O
A la izquierda de hay una infinidad de puntos, por lo tanto es infinito. Pero si elegimos a cualquier otro punto de la sucesión a su izquierda, ya no es el caso, lo cual prueba que es el primer ordinal infinito. Después de llega , , ... que se representan añadiendo a la derecha uno dos o más puntos, inicialmente distantes, y luego más cercanos entre sí:
X________X________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX...O_______X_____X
El último punto dibujado corresponde a .
Más generalmente, para sumar dos ordinales A y B se cambian los nombres de los elementos para que sean todos distintos, luego se juntan los conjuntos A y B, poniendo B a la derecha de A es decir imponiendo que cada elemento de B sea mayor que todos los de A. Así hemos construido ,... y así podemos construir : Notemos Y el elemento de 1, y X los de :
X__________X__________X_________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX...
Salta a la vista que y son muy parecidos. De hecho la función realiza un isomorfismo entre ellos ( tiene dos elementos llamados 0: 0A y 0B. El primero hace el papel de -1 en la función). Por lo tanto corresponden al mismo ordinal: . Mas no es el caso de , que es distinto de porque su el conjunto tiene un elemento máximo (el O del dibujo) mientras que el conjunto no lo tiene (el límite de los naturales no es un natural).
El punto (el O del dibujo) no tiene antecesor, es decir que no existe un n tal que : se dice que es un ordinal límite. Cero tiene también esta propiedad pero no merece esta apelación. Como , la adición no es conmutativa en los ordinales.
Se construye del mismo modo que se nota lógicamente . La multiplicación se define a partir de la adición como para los naturales.
Una vez que se ha representado , con natural, no resulta demasiado difícil imaginar lo que será , escrito . Luego se puede definir , con natural, y, tomando el límite , tiene tantos elementos como la recta real.
La sucesión tiene como límite .
Números cardinales infinitos
El cardinal de un conjunto es el número de elementos que contiene. Esta noción es por lo tanto distinta del ordinal, que caracteriza el lugar de un elemento en una sucesión. «Cinco» difiere de «quinto» aunque obviamente existe una relación entre ambos. Se dice que dos conjuntos tienen el mismo cardinal si existe una biyección entre ellos. Contrariamente a los ordinales, esta biyección no tiene que respetar el orden (además los conjuntos no tienen que ser ordenados).
Como ya tenemos un surtido de conjuntos —los ordinales— veamos sus tamaños (o sea sus cardinales) respectivos. No es ninguna sorpresa que los ordinales finitos también son cardinales: entre dos conjuntos con n y m elementos, m y n distintos, no puede haber biyección, por lo tanto tienen cardinales distintos. Pero no es el caso con los ordinales infinitos: Por ejemplo, y están en biyección por la función:
y , tal biyección no respeta el orden, por eso dos ordinales distintos pueden corresponder a un mismo cardinal.
Se suele notar |A| el cardinal de A. Se llama (alef-0) el cardinal de , o sea del conjunto de los naturales (donde es la primera letra del alfabeto hebreo).
Si A y B son conjuntos, entonces , donde x designa el producto cartesiano de los conjuntos, y «·» es el producto de los cardinales definidos por esta fórmula. El conjunto de las partes de un conjunto A, P(A) está en biyección con el conjunto de las funciones de A hacia {0,1}, conjunto que de escribe como 2A, como caso particular de YX que denota el conjunto de las aplicaciones de X hacia Y.
El cardinal de , conjunto de los reales, es por lo tanto 2, porque está en biyección con las partes de , por medio de la escritura decimal de los reales.
No se puede decidir, con los axiomas clásicos (los de la teoría de los conjuntos, fundamentos de la matemática), si existe un cardinal mayor que y menor que 2, es decir si existe un conjunto con más elementos que pero con menos elementos que . La hipótesis del continuo, que es un axioma adicional, afirma que no.
Análisis matemático Análisis estándar u ordinario Un conjunto de números reales S es acotado superiormente si existe un número c (la cota) tal que c es mayor que todo elemento de S (Por ejemplo, si S={π ; 7 ; } entonces S es un conjunto acotado, ya que el número c=10 cumple que π<10, 7<10, <10). Cuando un conjunto no es acotado, para cualquier número c es posible encontrar de modo que c < x. El concepto de infinito se introduce como una cota especial para este tipo de conjuntos. Este concepto de infinito se representa con el símbolo .
También es utilizado en el Análisis matemático cuando se quiere expresar que los términos de una sucesión ordenada, o los valores que toma una función al tomar la variable dependiente valores cercanos a uno fijado previamente «diverge» («tiende a infinito», o su límite es infinito). En este contexto, se considera para representar al límite que tiende a infinito y al límite cuando tiende a 0; y no al número 0).
Para recordar las reglas de límite se suele entonces acudir a las siguientes reglas nemotecnias: (aquí «x» representa un número real cualquiera)
,
Si y Si y