right|thumb|250px|Uno de los fragmentos más antiguos de Elementos de Euclides, un libro de texto utilizado durante miles de años para enseñar técnicas de demostración de escritura. El diagrama acompaña el Libro II, Proposición 5.1. En matemáticas, una demostración o bien una prueba es un argumento deductivo para asegurar la verdad de una proposición matemática. En la argumentación se pueden usar otras afirmaciones previamente establecidas, tales como teoremas o bien las afirmaciones iniciales o axiomas.Edward. R. Scheinerman. Matemáticas discretas México D.F. (2001) ISBN 970-686-071-1 En principio una demostración se puede rastrear hasta afirmaciones generalmente aceptadas, conocidas como axiomas.Cupillari, Antonella. The Nuts and Bolts of Proofs. Academic Press, 2001. Pág. 3.Eric Gossett (2009). Discrete Mathematics with Proof (definition 3.1, pág. 86). John Wiley and Sons. ISBN 0-470-45793-7 Las demostraciones son ejemplos de razonamiento deductivo y se distinguen de argumentos inductivos o empíricos; una demostración debe demostrar que una afirmación es siempre verdadera (ocasionalmente al listar todos los casos posibles y mostrar que es válida en cada uno), más que enumerar muchos casos confirmatorios. Una afirmación no probada que se cree verdadera se conoce como conjetura.
Las demostraciones emplean la lógica pero normalmente incluyen una buena parte de lenguaje natural, el cual usualmente admite alguna ambigüedad. De hecho, la gran mayoría de las demostraciones en las matemáticas escritas puede ser considerada como aplicaciones de lógica informal rigurosa. Las demostraciones puramente formales, escritas en lenguaje simbólico en lugar de lenguaje natural, se consideran en teoría de la demostración. La distinción entre demostraciones formales e informales ha llevado a examinar la lógica matemática histórica y actual, el cuasi-empirismo matemático y el formalismo matemático. La filosofía de las matemáticas concierne al rol del lenguaje y la lógica en las demostraciones, y en las matemáticas como lenguaje.
El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad; solo la demostración de la negación de este resultado implica que es falso.
Etimología e historia
miniaturadeimagen|Demostración escrita por Euclides en sus Elementos. La palabra «prueba» viene del latín probare, que significa ‘probar’. Palabras modernas relacionadas son las palabras españolas «probar» (‘degustar’, ‘oler’ o ‘ensayar’), «probidad», «probo» (o «proba») y «probabilidad»,New Shorter Oxford English Dictionary. Oxford: Oxford University Press, 1993. la palabra alemana probieren (‘intentar’), la italiana probare (‘intentar’) y las palabras inglesas probe y probation. El uso temprano del término inglés probity (‘probidad’) significaba ‘presentación de evidencia legal’. Una persona de autoridad ―que en general era cualquier persona con mucho dinero― se decía que era una persona «proba», y su evidencia pesaba más que cualquier otro testimonio o demostración empírica.Hacking, Ian. The emergence of probability.
Los argumentos de plausibilidad que usaban recursos heurísticos tales como imágenes y analogías precedieron a la demostración matemática estricta. Es probable que la idea de demostrar una conclusión se mostrara primero en conexión con la geometría, la cual originalmente significaba ‘medida de la tierra’ o agrimensura.Kneale, pág. 2 El desarrollo de la demostración matemática es el producto primario de la matemática Griega antigua, y uno de sus más grandes logros. Tales de Mileto (624-546 a. C.) demostró algunos teoremas en geometría. Eudoxo (408-355 a. C.) y Teeteto (417-369 a. C.) formularon teoremas pero no los demostraron. Aristóteles (384-322 a. C.) dijo que las definiciones debían describir el concepto a definir en términos de otros conceptos ya conocidos. Las demostraciones en matemáticas fueron revolucionadas por Euclides (300 a. C.), quien introdujo el método axiomático que aún se usa en la actualidad, empezando con términos indefinidos y axiomas (proposiciones concernientes a los términos indefinidos asumidas como evidentemente ciertas, vienen del griego axios, que significa ‘valioso’), y usaba estos para probar teoremas usando lógica deductiva. Su libro, los elementos, fue leído por cualquiera que se considerara educado en el occidente hasta mediados del .Howard Eves (1990): An introduction to the history of mathematics, Saunders, ISBN 0-03-029558-0, pág. 141: «No work, except The Bible, has been more widely used....». En adición a los teoremas familiares en geometría, tales como el teorema de Pitágoras, los elementos incluyen una demostración de que la raíz cuadrada de dos es irracional y de que hay infinitos números primos.
Avances posteriores tomaron lugar en las matemáticas medievales Islámicas. Mientras que las demostraciones griegas tempranas eran sobre todo demostraciones geométricas, el desarrollo de la aritmética y el álgebra por los matemáticos Islámicos permitió demostraciones más generales que no dependían de la geometría. En el siglo X d. C., el matemático iraquí Al-Hashim dio a proveer demostraciones generales para números (más que demostraciones geométricas) al considerar multiplicación y división entre otros «por líneas». Usaba este método para proveer una demostración de la existencia de números irracionales.
Una demostración inductiva para secuencias aritméticas fue introducida en el Al-Fakhri (1000 d. C.) por Al-Karaji, quien la usó para probar el teorema del binomio y propiedades del triángulo de Pascal. Alhazen también desarrolló el método de demostración por contradicción, como el primer intento de probar el postulado euclidiano de las paralelas.
La teoría moderna de demostraciones trata a las demostraciones como estructuras de datos definidas inductivamente. Ya no se asume que los axiomas son «ciertos» en ningún sentido; esto permite que se creen teorías matemáticas paralelas en conjuntos alternos de axiomas (véase Teoría axiomática de conjuntos y geometría no euclidiana como ejemplos).
Naturaleza y propósito
Como se había dicho, una demostración se escribe en lenguaje natural, siendo esta un argumento riguroso con propósito de convencer a la audiencia de la veracidad de una afirmación o definición. El rigor estándar no es absoluto y ha variado a través de la historia. Una demostración puede ser presentada en formas diferentes dependiendo de la audiencia esperada. Con el fin de ganar aceptación, una demostración tiene que cumplir parámetros comunes de rigor; un argumento considerado vago o incompleto ha de ser rechazado.
El concepto de una demostración se formaliza en el campo de la lógica matemática.Buss, 1997, pág. 3 Una demostración formal se escribe en lenguaje formal en vez de lenguaje natural. Una demostración formal se define como una secuencia de fórmulas en un lenguaje formal en la cual cada fórmula es una consecuencia lógica de las precedentes. Tener una definición de demostración formal hace el concepto de demostración ameno de estudiar. De hecho, el campo de teoría de demostraciones estudia las demostraciones formales y sus propiedades, por ejemplo, la propiedad de una afirmación de tener una demostración formal. Una aplicación de la teoría de demostraciones es la de mostrar que ciertas afirmaciones indecidibles no pueden tener demostración.
Se supone que la definición de demostración formal está para capturar el concepto de la demostración tal como se escribe en la práctica de la matemática. La sonoridad de esta definición descansa en la creencia de que una demostración publicada puede, en principio, ser convertida en una demostración formal. De todos modos, fuera del campo de los asistentes automáticos para demostraciones, esto se hace raramente en la práctica. Una pregunta clásica de la filosofía pregunta si las demostraciones matemáticas son analíticas o sintéticas. Kant, quien introdujo la distinción entre analíticos y sintéticos, creía que las demostraciones en matemáticas son sintéticas.
Las demostraciones pueden ser vistas como objetos estéticos, admiradas por su belleza matemática. El matemático Paul Erdős describió las demostraciones que consideraba particularmente elegantes como venidas de El Libro, un texto hipotético que supuestamente contiene los métodos más hermosos de probar cada teorema. El ensayo Las demostraciones de «El libro», publicado en 2009, presenta 32 demostraciones que sus editores encuentran particularmente satisfactorias.
Métodos de demostración
Aunque en general no existe un procedimiento único de demostración de tesis, sí existen diferentes tipos de demostraciones que son utilizados comúnmente en matemáticas:
Demostración por contraposición (formalizado y utilizado en los silogismos por Aristóteles). Demostración por reducción al absurdo (formalizado y utilizado por Aristóteles) y, como caso particular, descenso infinito Inducción matemática Inducción fuerte
Por otra parte, a pesar del alto grado de intervención humana necesario para hacer una demostración, también existen técnicas computacionales que permiten hacer demostraciones automáticas, notablemente en el campo de la geometría euclidiana.
Demostración directa
Se plantea una proposición, en la forma «si p, entonces q», donde p se denomina hipótesis (condición suficiente) y q se llama tesis o conclusión (condición necesaria). Por ejemplo, si llueve, la pista está mojada; esto es que una condición suficiente para que se moje la pista, es que llueva. Y si llueve, necesariamente se moja la pista. En el contexto matemático, de la verdad de la hipótesis se llega a la verdad de la conclusión, usando proposiciones cuya certeza se conoce previamente.Bush- Obreanu. Introducción a la matemática superior, Editorial trillas, México D.F. (1968)
En la demostración directa, la conclusión se establece al combinar lógicamente los axiomas, definiciones, y teoremas previos.Cupillari, pág. 20. Por ejemplo, la demostración directa puede ser usada para establecer que la suma de dos enteros pares es siempre par:
Considere dos enteros pares x e y. Como son pares, pueden ser escritos como x = 2a e y = 2b, respectivamente, para enteros a y b. Luego la suma x + y = 2a + 2b = 2(a+b). Por lo tanto x+y tiene un factor de 2 y, por definición, es par. Por lo tanto la suma de dos enteros pares es par.
Esta demostración usa la definición de enteros pares, las propiedades de los enteros para la clausura bajo la adición y la multiplicación, y la distributividad.
También un teorema se puede enunciar en la forma «p si y sólo si q», que conlleva dos enunciados «si..., entonces». Se prueba «si p..., entonces q» y además, «si q..., entonces p». Como ejemplo, es un número impar si y solo si es par. Enunciados de esta índole, en la práctica, pueden demostrarse directamente los dos o bien por reducción al absurdo. Lo importante es el enlace bicondicional.Scheinerman., Op. cit.
Demostración por el principio de inducción matemática
La inducción matemática no es una forma de razonamiento inductivo. En una demostración por inducción matemática se demuestra un único «caso base» y también una «regla de inducción», la cual establece que un cierto caso implica el siguiente. Aplicando la regla de inducción repetidamente, empezando del caso base independientemente probado, demostración muchos, a veces infinitos en número, otros casos.Cupillari, pág. 46. Como el caso base es verdadero, el infinito de los otros casos debe también serlo, incluso si todos ellos no pueden ser probados directamente dada su infinitud. Un subconjunto de inducción es infinitamente descendiente. El descenso infinito puede ser usado para probar la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos.
Una aplicación común de la inducción matemática es la de probar que una propiedad conocida por mantenerse para un número se mantiene para todos los naturales:Examples of simple proofs by mathematical induction for all natural numbers