Una máquina de Turing es un dispositivo que manipula símbolos sobre una tira de cinta de acuerdo con una tabla de reglas. A pesar de su simplicidad, una máquina de Turing puede ser adaptada para simular la lógica de cualquier algoritmo de computador y es particularmente útil en la explicación de las funciones de una CPU dentro de un computador.
Originalmente fue definida por el matemático inglés Alan Turing como una «máquina automática» en 1936 en la revista Proceedings of the London Mathematical Society. La máquina de Turing no está diseñada como una tecnología de computación práctica, sino como un dispositivo hipotético que representa una máquina de computación. Las máquinas de Turing ayudan a los científicos a entender los límites del cálculo mecánico.
Turing dio una definición sucinta del experimento en su ensayo de 1948, «Máquinas inteligentes». Refiriéndose a su publicación de 1936, Turing escribió que la máquina de Turing, aquí llamada una máquina de computación lógica, consistía en:
Una máquina de Turing que es capaz de simular cualquier otra máquina de Turing es llamada una máquina universal de Turing (UTM, o simplemente una máquina universal). Una definición más matemáticamente orientada, con una similar naturaleza «universal», fue presentada por Alonzo Church, cuyo trabajo sobre el cálculo lambda se entrelaza con el de Turing en una teoría formal de la computación conocida como la tesis de Church-Turing. La tesis señala que las máquinas de Turing capturan, de hecho, la noción informal de un método eficaz en la lógica y las matemáticas y proporcionan una definición precisa de un algoritmo o «procedimiento mecánico».
La importancia de la máquina de Turing en la historia de la computación es doble: primero, la máquina de Turing fue uno de los primeros (si no el primero) modelos teóricos para las computadoras, viendo la luz en 1936. Segundo, estudiando sus propiedades abstractas, la máquina de Turing ha servido de base para mucho desarrollo teórico en las ciencias de la computación y en la teoría de la complejidad. Una razón para esto es que las máquinas de Turing son simples, y por tanto amenas al análisis. Dicho esto, cabe aclarar que las máquinas de Turing no son un modelo práctico para la computación en máquinas reales, las cuales precisan modelos más rápidos como los basados en RAM.
Historia thumb|left|Estatua de Alan Turing con un retrato de fondo. thumb|300px|Representación artística de una máquina de Turing. Alan Turing introdujo el concepto de máquina de Turing en el trabajo On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem, publicado por la Sociedad Matemática de Londres en 1936, en el que se estudiaba la cuestión planteada por David Hilbert sobre si las matemáticas son decidibles, es decir, si hay un método definido que pueda aplicarse a cualquier sentencia matemática y que nos diga si esa sentencia es cierta o no. Turing ideó un modelo formal de computador, la máquina de Turing, y demostró que existían problemas que una máquina no podía resolver.
Con este aparato extremadamente sencillo es posible realizar cualquier cómputo que un computador digital sea capaz de realizar.
Mediante este modelo teórico y el análisis de la complejidad de los algoritmos, fue posible la categorización de problemas computacionales de acuerdo a su comportamiento, apareciendo así, el conjunto de problemas denominados P y NP, cuyas soluciones pueden encontrarse en tiempo polinómico por máquinas de Turing deterministas y no deterministas, respectivamente.
Precisamente, la tesis de Church-Turing formulada por Alan Turing y Alonzo Church, de forma independiente a mediados del caracteriza la noción informal de computabilidad con la computación mediante una máquina de Turing.
La idea subyacente es el concepto de que una máquina de Turing puede verse como un autómata ejecutando un procedimiento efectivo definido formalmente, donde el espacio de memoria de trabajo es ilimitado, pero en un momento determinado solo una parte finita es accesible.
Descripción informal thumb|right|300px|Aquí se muestra el estado interno (q1) dentro del cabezal, y la ilustración describe la cinta como siendo infinita y llenada previamente con «0», el símbolo sirviendo como blanco. El estado completo del sistema (su configuración) consiste del estado interno, el contenido de las casillas sombreadas incluyendo el blanco leído el cabezal («11B») y la posición del cabezal..
thumb|Animación de la máquina de Turing La máquina de Turing modela matemáticamente a una máquina que opera mecánicamente sobre una cinta. En esta cinta hay símbolos que la máquina puede leer y escribir, uno a la vez, usando un cabezal lector/escritor de cinta. La operación está completamente determinada por un conjunto finito de instrucciones elementales como «en el estado 42, si el símbolo visto es 0, escribe un 1; Si el símbolo visto es 1, cambia al estado 17; en el estado 17, si el símbolo visto es 0, escribe un 1 y cambia al estado 6; etc». En el artículo original («Sobre números computables con una aplicación al Entscheidungsproblem»), Turing no imagina un mecanismo, sino una persona a la que él llama la «computadora», quien ejecuta servilmente estas reglas mecánicas deterministas (o como Turing pone, «de una manera desganada»).
Más precisamente, una máquina de Turing consta de:
Una cinta que se divide en celdas, una al lado de la otra. Cada celda contiene un símbolo de algún alfabeto finito. El alfabeto contiene un símbolo especial llamado blanco (aquí escrito como «B») y uno o más símbolos adicionales. La cinta se supone que es arbitrariamente extensible hacia la izquierda y hacia la derecha, es decir, la máquina de Turing siempre es provista con tanta cinta como necesite para su computación. Las celdas que no se hayan escrito previamente se asumen que están rellenas con el símbolo blanco. En algunos modelos la cinta tiene un extremo izquierdo marcado con un símbolo especial; la cinta se extiende o es indefinidamente extensible hacia la derecha. Un cabezal que puede leer y escribir símbolos en la cinta y mover la cinta a la izquierda y a la derecha una (y solo una) celda a la vez. En algunos modelos el cabezal se mueve y la cinta es estacionaria. Un registro de estado que almacena el estado de la máquina de Turing, uno de los estados finitos. Hay un estado inicial especial con el que el registro de estado se inicia. Turing escribe que estos estados reemplazan el «estado de la mente» en que ordinariamente estaría una persona realizando cálculos. Una tabla finita de instrucciones (llamada ocasionalmente como tabla de acción o función de transición). Las instrucciones son usualmente 5-tuplas: qiaj→qi1aj1dk, (a veces 4-tuplas), que, dado el estado (qi) en que la máquina se encuentra actualmente y el símbolo (aj) que se está leyendo en la cinta (el símbolo actualmente debajo del cabezal) le indica a la máquina hacer lo siguiente en secuencia (para los modelos de 5-tupla): Borra o escribe un símbolo (reemplazando aj con aj1), y entonces Mueve el cabezal (que es descrito por dk y puede tener los valores: «L» para un paso a la izquierda, o «R» para un paso a la derecha, o «N» para permanecer en el mismo lugar) y luego Asume el mismo o un nuevo estado como prescrito (ve al estado qi1). En los modelos de 4-tupla, son especificadas como instrucciones separadas: borrar o escribir un símbolo (aj1) y mover el cabezal a la izquierda o la derecha (dk). Específicamente, la tabla indica a la máquina: (ia) borrar o escribir un símbolo o (ib) mover el cabezal a la izquierda o a la derecha, y luego (ii) asumir el mismo o un nuevo estado, pero no las dos acciones (ia) y (ib) en la misma instrucción. En algunos modelos, si no hay ninguna entrada en la tabla para la actual combinación de símbolo y estado, la máquina se detendrá; otros modelos requieren que estén llenas todas las entradas.
Note que cada parte de la máquina — su estado y colecciones de símbolos — y sus acciones — imprimir, borrar, movimiento de la cinta — es finito, discreto y distinguible; es la cantidad potencialmente ilimitada de cinta lo que le da una cantidad ilimitada de espacio de almacenamiento.
Definición formal
Una máquina de Turing Teoría de Autómatas, RAI 2012 Universidad Carlos III es un modelo computacional que realiza una lectura/escritura de manera automática sobre una entrada llamada cinta, generando una salida en esta misma.
Este modelo está formado por un alfabeto de entrada y uno de salida, un símbolo especial llamado blanco (normalmente b, o 0), un conjunto de estados finitos y un conjunto de transiciones entre dichos estados. Su funcionamiento se basa en una función de transición, que recibe un estado inicial y una cadena de caracteres (la cinta, la cual puede ser infinita) pertenecientes al alfabeto de entrada. La máquina va leyendo una celda de la cinta en cada paso, borrando el símbolo en el que se encuentra posicionado su cabezal y escribiendo un nuevo símbolo perteneciente al alfabeto de salida, para luego desplazar el cabezal a la izquierda o a la derecha (solo una celda a la vez). Esto se repite según se indique en la función de transición, para finalmente detenerse en un estado final o de aceptación, representando así la salida.
Una máquina de Turing con una sola cinta puede definirse como una 7-tupla
donde:
es un conjunto finito de estados. es un conjunto finito de símbolos distinto del espacio en blanco, denominado alfabeto de máquina o de entrada. es un conjunto finito de símbolos de cinta, denominado alfabeto de cinta (). es el estado inicial. es un símbolo denominado blanco, y es el único símbolo que se puede repetir un número infinito de veces. es el conjunto de estados finales de aceptación. es una función parcial denominada función de transición, donde es un movimiento a la izquierda y es el movimiento a la derecha.
Existe en la literatura un abundante número de definiciones alternativas, pero todas ellas tienen el mismo poder computacional, por ejemplo se puede añadir el símbolo como símbolo de «no movimiento» en un paso de cómputo.
Funcionamiento de la máquina de Turing
La máquina de Turing consta de un cabezal lector/escritor y una cinta infinita en la que el cabezal lee el contenido, borra el contenido anterior y escribe un nuevo valor. Las operaciones que se pueden realizar en esta máquina se limitan a:
Mover el cabezal lector/escritor hacia la derecha.thumb|250px|Visualización de una máquina de Turing, en la que se ve el cabezal y la cinta que se lee. Mover el cabezal lector/escritor hacia la izquierda.
El cómputo se determina a partir de una tabla de estados de la forma:
(estado, valor) (nuevo estado, nuevo valor, dirección)
Esta tabla toma como parámetros el estado actual de la máquina y el carácter leído de la cinta, dando la dirección para mover el cabezal, el nuevo estado de la máquina y el valor a escribir en la cinta.
La memoria es la cinta de la máquina que se divide en espacios de trabajo denominados celdas, donde se pueden escribir y leer símbolos. Inicialmente todas las celdas contienen un símbolo especial denominado «blanco». Las instrucciones que determinan el funcionamiento de la máquina tienen la forma, «si estamos en el estado x leyendo la posición y, donde hay escrito el símbolo z, entonces este símbolo debe ser reemplazado por este otro símbolo, y pasar a leer la celda siguiente, bien a la izquierda o bien a la derecha».
La máquina de Turing puede considerarse como un autómata capaz de reconocer lenguajes formales. En ese sentido, es capaz de reconocer los lenguajes recursivamente enumerables, de acuerdo a la jerarquía de Chomsky. Su potencia es, por tanto, superior a otros tipos de autómatas, como el autómata finito, o el autómata con pila, o igual a otros modelos con la misma potencia computacional.
Representación como diagrama de estados