Dados dos conjuntos: e , y una función , que determina alguna relación binaria entre algún elemento de con algún elemento de , diremos que esa función: , define una correspondencia entre e , que representaremos:
cuando al menos un elemento de está relacionado con al menos un elemento de .
Un ejemplo 80px 80px 80px 80px
Si tenemos una serie de objetos, como los tubos de pintura y los pinceles, y diferenciamos por un lado los tubos y por otro los pinceles, y asociamos a cada tubo con el pincel que tiene el mismo color de pintura, tenemos una relación color de la pintura entre cada tubo y cada pincel que tenga el mismo color.
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En este ejemplo, podemos definir un conjunto de tubos de pintura y otro de pinceles y asociar a cada tubo del conjunto , el pincel del conjunto que tenga su mismo color, esta asociación la representaremos con una flecha del tubo al pincel correspondiente.
Puede darse el caso que tengamos un tubo de un color pero no un pincel con el mismo color de pintura, como en el ejemplo hay un tubo de color rojo pero no hay ningún pincel con pintura de color rojo, por lo tanto del tubo rojo no sale ninguna flecha.
Puede que tengamos un tubo de un color y varios pinceles con pintura de ese mismo color, así en el ejemplo hay un tubo verde y dos pinceles con pintura verde, del tubo de color verde salen dos flechas una hasta cada pincel con pintura verde. 250px|right
También puede ser que tengamos más de un tubo de un mismo color y un solo pincel con esa pintura, en este caso, como en el ejemplo, de los dos tubos azules salen las dos flechas hasta el único pincel con pintura azul, llegando dos flechas al pincel azul, una de cada uno de los tubos de color azul, como se ve en la figura.
En la figura del ejemplo se ve un pincel con pintura amarilla, pero no hay ningún tubo de pintura amarilla, por tanto a este pincel no llega ninguna flecha.
En resumen la correspondencia mismo color de la pintura entre un conjunto de tubos de pintura, y otro conjunto de pinceles, existe en tanto en cuanto al menos un tubo de pintura tiene el mismo color que uno de los pinceles, pudiendo ser esa relación tan sencilla o tan compleja como se quiera.
En una correspondencia matemática los conjuntos no tienen que ser necesariamente numéricos, ni la relación entre sus elementos operaciones aritméticas, sin que por ello deje de ser matemática.
Definiciones right right|250px En una correspondencia podemos distinguir distintos conjuntos:
Conjunto inicial: es el primero de la correspondencia, es este caso , lo representaremos: , según el ejemplo:
En el segundo ejemplo, tenemos una correspondencia entre un conjunto de pinceles y un conjunto de caras que hemos pintado con esos pinceles, la correspondencia asocia a cada pincel la cara del mismo color, en este ejemplo el conjunto inicial será:
| 30px, | 30px, | 30px, | 30px
Conjunto final: es el segundo de la correspondencia en este caso , lo representaremos como , según el ejemplo:
En el ejemplo de los pinceles y las caras el conjunto final está formado por:
| 30px, | 30px, | 30px, | 30px
Conjunto origen: es el formado por los elementos del conjunto inicial, que están relacionados con algún elemento del conjunto final, lo representaremos , en el ejemplo será:
Los pinceles de los que hay una cara pintada es el conjunto origen, de la correspondencia mismo color:
| 30px, | 30px, | 30px
Conjunto imagen: es el formado por los elementos del conjunto final con los que están relacionados los elementos del conjunto origen, lo representaremos , en el ejemplo:
Las caras para las que hay un pincel de su color es el conjunto imagen:
| 30px, | 30px, | 30px
Elementos homólogos: dos elementos, uno del conjunto origen y otro del conjunto imagen, se dice que son homólogos, si están relacionados según la correspondencia , en el ejemplo los siguientes pares ordenadas son homólogos:
Los pares ordenados formados por un pincel y una cara del mismo color son:
| 30px, 30px | | 30px, 30px | | 30px, 30px
Imagen de un elemento: dado un elemento del conjunto origen, y otro elemento del conjunto imagen, se dice que es imagen de y se representa:
si el elemento está relacionado con el elemento según la correspondencia . en el ejemplo tenemos que:
La correspondencia color por la que a cada pincel se le asocia la cara pintada del mismo color es: {| | 30px 30px |- | 30px 30px |- | 30px 30px
Correspondencia definida a partir del producto cartesiano Dados los conjuntos (conjunto inicial) e (conjunto final) y definido el producto cartesiano , de estos dos conjuntos, como el conjunto de pares ordenados , donde e , dado el conjunto que contiene a los pares homónimos de la correspondencia , y define esa correspondencia en su totalidad.
Por lo tanto podemos decir que una correspondencia entre dos conjuntos e es un subconjunto del producto cartesiano , que recoge los pares ordenados , que forman la correspondencia.
Ejemplo 1 d (1,d) (2,d) (3,d) (4,d) c (1,c) (2,c) (3,c) (4,c) b (1,b) (2,b) (3,b) (4,b) a (1,a) (2,a) (3,a) (4,a) X×Y 1 2 3 4
en el diagrama anterior, tenemos los conjuntos:
el producto es:
el conjunto F es el siguiente:
Se puede apreciar que y que define la correspondencia en su totalidad.
Ejemplo 2 right|250px
Partiendo de la correspondencia entre los tubos de pintura , y los pinceles , asociando a cada tubo el pincel que tiene pintura del mismo color.
La correspondencia vendrá definida por los pares ordenados:
| 30px, 30px | | 30px, 30px | | 30px, 30px
Vemos que el conjunto inicial es:
| 30px, | 30px, | 30px, | 30px
y el conjunto final:
| 30px, | 30px, | 30px, | 30px
50px 70px 70px 70px 70px 50px 70px 70px 70px 70px 50px 70px 70px 70px 70px 50px 70px 70px 70px 70px 50px 50px 50px 50px
El producto cartesiano de por es el conjunto de pares ordenados de cada uno de los tubos de con cada uno de los pinceles de , en la cuadrícula podemos ver en la fila inferior cada uno de los tubos del conjunto , y en la columna da la izquierda cada uno de los pinceles del conjunto , donde se cortan una fila y una columna están el tubo y el pincel correspondientes, se ha destacado el fondo de las pares que forman parte de la correspondencia.
Correspondencia inversa 200px|right 200px|right Dada una correspondencia entre los conjuntos y , representada:
se define como correspondencia inversa de , que llamaremos :
a la que asocia la imagen de la función con su origen.
Definida una correspondencia como un subconjunto del producto cartesiano de , donde los pares ordenados son los asociados por la correspondencia, la correspondencia inversa es el subconjunto del producto cartesiano , formado por los pares ordenados obtenidos de cambiar el orden de la correspondencia .
Así, si tenemos un conjunto de tubos de pintura y otro conjunto de pinceles y asociamos por una relación a cada tubo de el pincel con pintura del mismo color:
y esta función está definida por los pares ordenados:
| 30px, 30px | | 30px, 30px | | 30px, 30px
La correspondencia inversa será la que partiendo del conjunto de pinceles asocia a cada pincel el tubo del conjunto de pintura del mismo color:
que estará definida por los pares ordenados:
| 30px, 30px | | 30px, 30px | | 30px, 30px
Tipos de correspondencias derecha|280px Dado el conjunto de todas las correspondencias: C posibles entre dos conjuntos, se pueden distinguir: Las correspondencias unívocas: U, si cumplen la unicidad de imagen. Las correspondencias biunívocas: B, si cumplen la unicidad de origen y de imagen. Las aplicaciones A, si cumplen la unicidad y la existencia de imagen. Las aplicaciones sobreyectivas: S, si se cumple la unicidad y existencia de imagen y la existencia de origen.
Así como las intersecciones de esos conjuntos.
Clasificación según la unicidad derecha|280px
Partiendo de dos conjuntos, uno inicial , y otro final , y todas las posibles correspondencias que se pueden hacer entre estos dos conjuntos, por su interés podemos diferenciar las correspondencias unívocas y biunívocas.
Una correspondencia es unívoca: U si cada elemento inicial solo tienen una imagen.
Informalmente: "si sólo sale una flecha de cada elemento del conjunto inicial que tenga imagen".
Una correspondencia es biunívoca: B si cada elemento inicial solo tienen una imagen, y cada elemento imagen solo tiene ese origen.
Informalmente: "si sólo sale una flecha del elemento del conjunto inicial que tenga imagen y tal elemento del conjunto final tenga solo esa flecha que llegue a un origen".
No es necesario en ninguno de los dos casos que todos los elementos de tengan una imagen, ni que todos los elementos de tengan un origen, claramente una correspondencia tiene que ser unívoca para poder ser biunívoca.
Si representamos con un rectángulo todas las posibles correspondencias entre los conjuntos e , si el conjunto es el de las correspondencias unívocas, y al el de las biunívocas, en un Diagrama de Venn, se ve claramente que el conjunto de las correspondencias biunívocas es un subconjunto de las correspondencias unívocas.
Correspondencia no unívoca right
Es la correspondencia en la que al menos uno de los elementos origen tiene dos o más imágenes. En el diagrama de Venn, son las correspondencias que no pertenecen a U: U’.
Si el conjunto inicial es el de los alumnos de un centro escolar, y el conjunto final el de las asignaturas que se imparten en ese centro, la correspondencia de alumnos con asignaturas, no será unívoca cuando al menos un alumno estudia dos o más asignaturas.
En el diagrama de la figura el elemento 3 tiene dos imágenes: b y c, esto hace que la correspondencia no sea unívoca, independientemente de la relación que tengan el resto de los elementos. Esta doble imagen para un único origen da lugar a que podamos decir:
Siendo las dos expresiones ciertas.
Correspondencia unívoca
Es una correspondencia donde cada elemento del conjunto origen se corresponde con solo un elemento del conjunto imagen.
En el diagrama de Venn son las correspondencias que pertenecen a U.
Correspondencia unívoca, no biunívoca right
Es la que a cada origen le corresponde una única imagen, pero no todas las imágenes tienen un único origen. En el diagrama de Venn, son las correspondencias que pertenecen a U pero no a B: U-B.
Si el conjunto inicial es el de las personas de una población, y el conjunto final el de los domicilios de esa población, la correspondencia de personas con domicilios, será unívoca pero no biunívoca cuando, cada persona viva en un único domicilio y en algún domicilio vivan varias personas.
La correspondencia representada en este diagrama es unívoca, pero no es biunívoca porque el elemento d, tiene dos orígenes: 1 y 2. Así tenemos que:
esto hace que no sea una correspondencia biunívoca, aunque por el resto de las relaciones si pueda serlo.
Correspondencia biunívoca Es una correspondencia unívoca cuya correspondencia inversa también es unívoca. Es decir: cada elemento del conjunto origen se corresponde con solo un elemento del conjunto imagen, y cada elemento del conjunto imagen se corresponde con solo un elemento del conjunto origen.
En el diagrama de Venn son las correspondencias que pertenecen a B.
Ejemplos right
En el diagrama de la figura se ve que:
siendo estas todas las relaciones de esta correspondencia. Los elementos origen tienen una única imagen, y los elementos imagen tienen un único origen, puede haber elementos sin imagen como el 1, y elementos sin origen como la c, pero esto no influye en la definición de biunicidad.
Si consideramos como conjunto origen el de personas, y por conjunto imagen el de automóviles, esta correspondencia será biunívoca cuando las personas que tienen automóvil tienen un solo automóvil, y cada automóvil tenga un solo propietario. Se puede establecer una correspondencia biunívoca entre cada número natural con su cuadrado.