250px|miniatura|El número surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b. 250px|miniatura|Los segmentos AB y BC son perpendiculares e iguales a la unidad. Con centro en O trazamos la circunferencia de radio 1/2. Finalmente, uniendo A con O y prolongando hasta la circunferencia obtenemos P. La longitud AP es el número áureo respecto a AB. (EUCLIDES)
El número áureo, también llamado número de oro, número de Dios, razón extrema y media, razón dorada, media áurea, proporción áurea, divina proporción,Luca Pacioli, De Divina Proportione (De la divina proporción), o simplemente número fi, escrito entre 1496 y 1498. es un número irracional,Este número es irracional, aunque es algebraico de segundo grado por ser raíz de una ecuación cuadrática y también es una proporción constructible mediante regla y compás, y existen numerosas aproximaciones racionales con mayor o menor error. representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.
Su valor numérico, mediante radicales o decimales es
Al ser irracional, no es posible representarlo con exactitud como una fracción decimal; se puede seguir calculando cifras, pero nunca se alcanza la última.
Raramente también se representa con la letra griega tau (Τ τ),Proporción Áurea en WolframMathWorld por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar. También se puede representar con la letra griega alfa minúscula.Vorobiov, N. N.: Lecciones de matemáticas populares. Números de Fibonnacci, Editorial Mir, Moscú (1974)
Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal es infinita y no tiene periodo) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la Antigüedad, no como una expresión aritmética, sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta, es decir, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc. Una de sus propiedades aritméticas más curiosas es que Φ ≈ 1,618033988749894… y su recíproco (1/Φ ≈ 0,618033988749894…) tienen las mismas infinitas cifras decimales.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.
Definición
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación:
La longitud total, suma de los dos segmentos a y b, es al segmento mayor a, lo que este segmento a es al menor b. Escrito como ecuación algebraica:
Siendo el valor del número áureo φ el cociente: . Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total por la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor por la del menor.
Cálculo del valor del número áureo
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:
+Deducción12EcuacionesSimplificandoSustituyendoMultiplicando DespejandoSolución positiva
que es el valor del número áureo, equivalente a la relación .
Identidad Trigonométrica del número áureo
Esta identidad muestra cómo el número áureo puede expresarse a partir de una combinación de razones trigonometricas asociadas al triángulo rectángulo con lados proporcionales a (a/2,a).Enfer Diez:International Journal of Mathematics and Computation vol 28 (2) 2017 El ángulo correspondiente cumple , y de ello se obtiene .
Geométricamente, esta relación proviene de un triángulo rectángulo cuyos catetos están en la proporción 1:2. La hipotenusa es , y la relación resultante conecta la razón áurea con una combinación de funciones trigonométricas simples. Autor: Andri Lopez (CCBY-SA 4.0)
Historia del número áureo Algunos autores sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en varias estelas de Babilonia y Asiria de alrededor de Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fuera utilizado conscientemente por dichos artistas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide una estructura compleja, es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además, para que se pueda afirmar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos significativos del objeto, pero este no es el caso de muchas hipótesis que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.
Antigüedad El primero en hacer un estudio formal del número áureo fue Euclides (c. 300 a. C-), quien lo definió de la siguiente manera:
Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros; es decir, es un número irracional.
Platón (c. 428-) puede haber estudiado el número áureo; sin embargo, puede ser que se le atribuya el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido a que el historiador griego Proclo escribió:
Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave de la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.
Edad Moderna En 1509 el matemático y teólogo italiano Luca Pacioli publicó De Divina Proportione (La Divina Proporción), donde plantea cinco razones por las que estima apropiado considerar divino al número áureo: La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del número áureo y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes. La autosimilitud asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro, el número áureo dio ser al dodecaedro.
En 1525, Alberto Durero publicó Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas, donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral áurea basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.
El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) desarrolló un modelo platónico del sistema solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos:
El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las matemáticas puras elementales). Ohm escribe en una nota al pie:
A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830.
En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue τ, del griego τομή, que significa ‘corte o sección’. Sin embargo, la moderna denominación Φ o φ fue ideada en 1900 por el matemático Mark Barr en honor a Fidias, ya que esta era la primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας). Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro The Curves of Life, de sir Theodore Andrea Cook.
El divulgador matemático Martin Gardner también escribió posteriormente que Fidias fue elegido porque se creía que había utilizado la proporción áurea con frecuencia en su escultura, aunque el propio Barr cuestionó esta aseveración, escribiendo en su artículo Parámetros de la belleza que dudaba que Fidias hubiera utilizado la proporción áurea.
El número áureo en las matemáticas Propiedades y representaciones Ángulo de Plata
razón número áureo
Propiedades aritméticas es el único número real positivo tal que:
φ posee además las siguientes propiedades, derivadas de la anterior:
Las potencias del número áureo pueden expresarse en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, establecida una verdadera sucesión recurrente de potencias.
El caso más simple es: para cualquier n que sea un número entero. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.
Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma: ,
donde es cualquier número real o complejo y k es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es , y .
Pero podemos «saltar» la potencia inmediatamente anterior y escribir:
. Aquí , , , y .
Si se anulan las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula recurrente de orden 6:
En general:
.
En resumen, cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8,..., 2k; donde k es un número natural. En la fórmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de , hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de corresponde a una potencia positiva de su inverso, la sección áurea.
Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio, parecieran indicar que entre el número áureo y el número e hay un parentesco.
El número áureo es la unidad fundamental «ε» del cuerpo de números algebraicos y la sección áurea es su inversa, «». En esta extensión el «emblemático» número irracional cumple las siguientes igualdades:
.
Representación mediante fracciones continuas La expresión mediante fracciones continuas es:
Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también la más simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia más lenta. Esa propiedad hace que además el número áureo sea un número mal aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado posible de aproximabilidad mediante racionales.Bad approximable numbers in WolframMathWorld
Por ello se dice que es el número más alejado de lo racional o el número más irracional. Este es el motivo por el cual aparece en el teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser.
Representación trigonométrica
Estas corresponden al hecho de que la diagonal de un pentágono regular (distancia entre dos vértices no consecutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otras relaciones similares en el pentagrama.
Representación mediante raíces anidadas
Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1917. El teorema general dice que la expresión
donde , es igual a la mayor de las raíces de la ecuación o sea, .
Relación con la sucesión de Fibonacci