En geometría, un isodecágono o icoságono es un polígono de 20lados y 20vértices. El isodecágono es un polígono construible, mediante la bisección de los lados de un decágono regular.
Propiedades Un isodecágono o icoságono tiene 170diagonales, que se puede obtener aplicando la fórmula general para determinar el número de diagonales de un polígono, ; siendo el número de lados , tenemos:
La suma de todos los ángulos internos de cualquier isodecágono es 3240grados o radianes.
Isodecágono regular
Un isodecágono regular es el que tiene todos sus lados de la misma longitud y todos sus ángulos internos iguales. Cada ángulo interno del isodecágono regular mide 162° o radianes. Cada ángulo externo del isodecágono regular mide 18° o rad.
Para obtener el perímetro P de un isodecágono regular, multiplíquese la longitud de uno de sus lados t por veinte (el número de lados n del polígono).
El área A de un isodecágono regular se puede calcular a partir de la longitud t de uno de sus lados, de la siguiente forma:
donde es la constante pi y es la función tangente calculada en radianes.
Si se conoce la longitud de la apotema a del polígono, otra alternativa para calcular el área es:
Utilización
La gran rueda del popular programa de juegos estadounidense "The Price Is Right" tiene una sección transversal isodecagonal.
Se descubrió que The Globe, el teatro al aire libre utilizado por la compañía de actores de William Shakespeare, fue construido sobre una base icosagonal cuando se realizó una excavación parcial en 1989.Muriel Pritchett, University of Georgia "To Span the Globe" , see also Editor's Note, retrieved on 10 January 2016
Como ruta golígonoal, esvástica se considera un isodecágono irregular.
Un cuadrado, un pentágono y un isodecágono regulares pueden formar un teselado regular que recubre el plano por completo.
Construcción Como , el isodecágono regular es construible usando regla y compás, o procediendo a la bisección de los lados de un decágono regular, o a la doble bisección de los lados de un pentágono regular:
Construcción de un isodecágono regularOtra construcción de un isodecágono regular
La proporción áurea en un isodecágono En la construcción con longitud de lado dada, el arco circular alrededor de con radio , comparte con el segmento la relación de la proporción áurea.
Simetría
El isodecágono regular posee simetría diedral de orden40. Incluye 5subgrupos de simetría diedrales: y , y 6simetrías cíclicas: y (. Estas 10simetrías dan origen a 16tipos de formas distintas de isodecágono, un número mayor de formas que de simetrías porque los ejes de simetría pueden combinarse en la misma figura atravesando vértices y también lados.
John Conway clasificó estas simetrías usando una letra y el orden de la simetría a continuación. Asignó la letra r al grupo de simetría de la figura regular; y en el caso de los subgrupos utilizó la letra d (de diagonal) para las figuras con ejes de simetría solo a través de sus vértices; p para figuras con ejes de simetría solo a través de ejes perpendiculares a sus lados; i para figuras con ejes de simetría tanto a través de vértices como a través de centros de lados; y g para aquellas figuras solo con simetría rotacional. Con a1 se etiquetan aquellas figuras con ausencia de simetría. Los tipos de simetrías más bajos permiten disponer de uno o más grados de libertad para definir distintas figuras irregulares.John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275-278) Solo el subgrupo g20 no tiene grados de libertad, pero puede verse como un grafo dirigido. (Véase un ejemplo en la Teoría de grupos de John Conway)
Los isodecágonos irregulares de mayor simetría son , un isodecágono isogonal construido por diez reflexiones que pueden alternar aristas largas y cortas, y , un isodecágono isotoxal, construido con longitudes de borde iguales, pero vértices alternando dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del isodecágono regular.
Disección + 20-gono diseccionado en 180 rombosregularIsotoxal
Harold Scott MacDonald Coxeter estableció que cada zonágono (un -gono cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en paralelogramos.Harold Scott MacDonald Coxeter, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141
En particular, esto es cierto para los polígonos regulares con muchos lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. En el caso del isodecágono, , se puede dividir en 45: 5cuadrados y 4conjuntos de 10rombos. Esta descomposición se basa en una proyección en forma de polígono de Petrie de un decaracto, con 45 de sus 11520caras. La lista enumera el número de soluciones como 18410581880, incluyendo rotaciones de hasta 20veces y formas quirales en reflexión. + Disección en 45rombosdecaracto
Polígonos relacionados Un icosagrama es un estrella de 20lados, representada por el símbolo . Existen tres formas regulares dadas por los símbolos de Schläfli: , y . También hay cinco figuras de estrellas regulares (compuestas) que usan la misma disposición de vértices: , , , , y . n12345FormaPolígono convexoCompuestoPolígono estrelladoCompuestoImagen{20/1} = {20}{20/2} = 2{10}{20/3}{20/4} = 4{5}{20/5} = 5{4} Ángulo interior 162° 144° 126° 108° 90°n678910FormaCompuestoPolígono estrelladoCompuestoPolígono estrelladoCompuestoImagen{20/6} = 2{10/3}{20/7} {20/8} = 4{5/2}{20/9} {20/10} = 10{2} Ángulo interior 72° 54° 36° 18° 0°
Los truncamientos más profundos del decágono regular y del decagrama pueden producir formas de icosagramas intermedios isogonales (figura isogonal) con vértices igualmente espaciados y dos longitudes de arista distintas.The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994), Metamorphoses of polygons, Branko Grünbaum
Un icosagrama regular, , puede verse como un decágono cuasi truncado, . De manera similar, un decagrama, posee un cuasitruncamiento , y finalmente un decagrama simplemente truncado permite obtener .
+ Icosagramas como truncamientos de decágonos y decagramas regulares, {10}, {10/3}CuasirregularCuasirregulart{10}={20}t{10/9}={20/9}t{10/3}={20/3}t{10/7}={20/7}
Polígonos de Petrie El isodecágono regular es el polígono de Petrie para una serie de politopos de dimensiones superiores, que se muestran en proyecciones oblicuas sobre el plano de Coxeter:
A19B10D11E8H4½2H22H2símplex 10-ortoplexdecaracto 11-demicubo(421)hexacosicoronGran antiprisma10-10 duopirámide10-10 duoprisma También es el polígono de Petrie para 120-cell icosaedral, 120-cell estrellado pequeño, 120-cell icosaedral grande y 120-cell gran grande.
Referencias
Enlaces externos
Naming Polygons and Polyhedra Isodecágono
Categoría:Polígonos Categoría:Polígonos construibles Categoría:Polígonos por el número de lados