lang=es|thumb|Secciones cónicas.
thumb|La trayectoria de una pelota que rebota es una sucesión de parábolas. En matemáticas, una parábola (del griego παραβολή) es la sección cónica de excentricidad igual a 1,Christopher Clapham. Diccionarios Oxford- Complutense. Ciencias. ISBN 84-89784-56-6 resultante de cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta.Rey Pastor- Santaló- Balanzat. Geometría Analítica. Ediciones EudebaNótese que no cualquier plano paralelo a una generatriz del cono producirá una parábola. Para que lo haga, el plano de corte deberá además ser perpendicular al plano definido por el eje de rotación y la generatriz de la cual el plano de corte es paralelo. La condición indispensable para que la intersección forme una parábola es que el ángulo entre el plano de corte y el eje de rotación o directriz del cono sea igual al que presenta cualquier generatriz con dicho eje.Si el ángulo que forma el plano de intersección con el eje de revolución o directriz del cono, es mayor que el comprendido entre dicho eje y la generatriz, entonces la intersección será una elipse. Será una hipérbola si dicho ángulo es menor al citado, y una circunferencia si el plano es perpendicular al eje. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz,Nótese que, aunque por directriz de un cono se reconoce a su eje de revolución, en el caso de la parábola se trata de una recta exterior a ella, y perpendicular a su eje de simetría. y un punto interior a la parábola llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad (ver movimiento parabólico y trayectoria balística).
Historia La tradición indica que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.
Sin embargo, el primero en usar el término parábola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre de las matemáticas griegas, donde se desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.
Es Apolonio quien menciona que un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en día en las antenas satelitales. La parábola también fue estudiada por Arquímedes, nuevamente en la búsqueda de una solución para un problema famoso: la cuadratura del círculo, dando como resultado el libro Sobre la cuadratura de la parábola.
Propiedades geométricas thumb|Diferentes elementos de una parábola. thumb|Diagrama que muestra la propiedad reflexiva, la directriz (verde), y las líneas que unen el foco y la directriz de la parábola (azul).
Aunque la identificación de parábola con la intersección entre un cono recto y un plano que forme un ángulo con el eje de revolución del cono igual al que presenta su generatriz es exacta, es común definirla también como un lugar geométrico:
La definición excluye el caso en que el foco está sobre la directriz. De esta forma, una vez fijados una recta y un punto se puede construir una parábola que los tenga por directriz y foco respectivamente, usando el siguiente procedimiento: Se toma un punto cualquiera de la recta, se lo une con el foco dado y a continuación se traza la mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del segmento . La intersección de la mediatriz con la perpendicular por a la recta directriz da como resultado un punto que pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para diferentes puntos se pueden hallar tantos puntos de la parábola como sea necesario.
De la construcción anterior se puede probar que la parábola es simétrica respecto a la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Al punto de intersección de la parábola con tal recta (conocida como eje de la parábola) se le llama vértice de la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. La distancia entre el vértice y el foco se conoce como distancia focal o radio focal.
thumb|center|Los puntos de la parábola están a la misma distancia del foco F y de la recta directriz.thumb|center|Construcción de puntos en una parábola.
Lado recto thumb|El lado recto mide 4 veces la distancia focal. Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto. Debido a la ecuación que representa a esta curva, surge el siguiente teorema:
Siendo , los extremos del lado recto y , las respectivas proyecciones sobre la directriz, denotando por la proyección del foco sobre la directriz, se observa que y son cuadrados, y sus lados miden . Por tanto, el segmento es igual a 4 veces el segmento (la distancia focal).
Las tangentes a la parábola que pasan por los extremos del lado recto forman ángulos de 45° con el mismo, consecuencia de que y sean cuadrados, junto con la construcción mencionada en la sección anterior. Además, tales tangentes se cortan en la directriz de forma perpendicular, precisamente en el punto de proyección del foco, propiedades que pueden ser aprovechadas para construir una aproximación geométrica del foco y la directriz cuando éstos son desconocidos.
Semejanza de todas las parábolas thumb|Todas las parábolas son semejantes, es únicamente la escala la que crea la apariencia de que tienen formas diferentes. Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única sección cónica que tiene excentricidad . La unicidad se refiere a que todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.
Desafortunadamente, al estudiar analíticamente las parábolas (basándose en ecuaciones), se suele afirmar erróneamente que los parámetros de la ecuación cambian la forma de la parábola, haciéndola más ancha o estrecha. La verdad es que todas las parábolas tienen la misma forma, pero la escala crea la ilusión de que hay parábolas de formas diferentes.
Un argumento geométrico informal es que al ser la directriz una recta infinita, al tomar cualquier punto y efectuar la construcción descrita arriba, se obtiene siempre la misma curva, salvo su escala, que depende de la distancia del punto a la directriz.
Tangentes a la parábola thumb|La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección. thumb|Uso de las propiedades de las tangentes para construir una parábola mediante dobleces en papel.
Un resultado importante en relación con las tangentes de una parábola establece:
Llamemos F al foco de una parábola, a un punto cualquiera de la misma y a la proyección de este sobre la directriz. Sea la mediatriz del triángulo , el cual es isósceles por ser iguales las distancias y , como se ha visto. Luego biseca al ángulo , restando verificar si es tangente a la parábola en el punto P.
Sea Q otro punto de la parábola y sea U su proyección en la directriz. Puesto que y , entonces . Dado que esto es cierto para cualquier otro punto de la parábola, se concluye que toda la parábola está de un mismo lado de , y como la desigualdad es estricta, no hay otro punto de la parábola que toque a la recta , esto quiere decir que es la tangente de la parábola en .
Curva dual de la parábola. La curva dual de la parábola respecto a un círculo interior es una elipse. Si el centro del círculo es el foco de la parábola entonces su dual es un círculo. La dual de la parábola respecto a un círculo exterior es una hipérbola. Si el centro del círculo esta sobre la parábola su dual es otra parábola.
Radio de curvatura Sea el punto entonces el radio de curvatura esBronshtein et al Manual de matemáticas, Mir Moscú (1973) siendo la ecuación de la parábola Expresión explícita Dada la fórmula general del radio de curvatura de una curva a partir de su ecuación explícita:
si se tiene una parábola expresada de la forma general: ; su primera derivada toma la forma ; y su segunda derivada es Sustituyendo estos valores en la expresión general anterior, se tiene que:
Curvatura en el vértice En el vértice, donde la tangente a la curva es horizontal, la primera derivada de la parábola se anula (es decir, ). En consecuencia,
Aplicaciones prácticas
Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco.
La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.
Análogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se desplaza de la posición focal.
Ecuaciones de la parábola thumb|Parábolas tipo y = ax2, con a = 4, 1, y . thumb|Prueba geométrica de la relación y=ax2. Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma donde el parámetro especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».
Si bien la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio, y se bosquejará a continuación usando notación moderna.
Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea un punto en el eje y sea perpendicular al eje. ( corresponde al valor en la versión analítica y al valor y). Considerando la sección circular que pasa por y es paralela a la base del cono, obtenemos , paralelos a y .
Por el teorema de potencia de un punto: Al ser paralela a , los triángulos , y son semejantes y así:
Usando nuevamente los paralelismos:
Despejando y para sustituir en la fórmula de resulta en
Pero el valor de es una constante, pues no depende de la posición de , por lo que haciendo
arroja la expresión moderna .
thumb|Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c. Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice.
agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:
Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares, pero intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos:
Ecuación involucrando la distancia focal thumb|Ecuación de una parábola vertical.