En matemáticas recreativas, un repituno (en inglés, repunit) es un número como 11, 111 o 1111 que contiene solamente el dígito 1 (la forma más sencilla de repidígito). El término en inglés proviene de repeated unit y fue acuñado en 1966 por Albert H. Beiler.
Un primo repituno es un repituno que también es un número primo. En binario, estos números son los primos de Mersenne.
Definición Los repitunos en base b se definen como
Así, el número Rn(b) consta de n ejemplares del dígito 1 en base b. Los dos primeros repitunos en base b para n=1 y n=2 son
En particular, los repitunos decimales (en base 10) a quienes se les suele llamar simplemente repitunos se definen como
Así, el número Rn = Rn(10) consta de n ejemplares del dígito 1 en base 10. La sucesión de repitunos en base diez comienza con
1, 11, 111, 1111, ... .
Análogamente, los repitunos en base 2 se definen como
Así, el número Rn(2) consta de n ejemplares del dígito 1 en base 2. De hecho, los repitunos en base 2 son los ya conocidos números de Mersenne Mn = 2n − 1.
Propiedades En cualquier base, cualquier repituno que tenga un número compuesto de dígitos es necesariamente compuesto. Solamente los repitunos (en cualquier base) que tengan un número primo de dígitos pueden ser primos (condición necesaria pero no suficiente). Por ejemplo, R35(b) = 11111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1000010000100001000010000100001 = 1111111 × 10000001000000100000010000001, dado que 35 = 7 × 5 = 5 × 7. Esta factorización no depende de la base b en la que se exprese el repituno.
Cualquier múltiplo positivo del repituno Rn(b) contiene al menos n dígitos distintos de cero en base b.
Los únicos números conocidos de al menos 3 dígitos que son simultáneamente repitunos en más de una base son 31 (111 en base 5, 11111 en base 2) y 8191 (111 en base 90, 1111111111111 en base 2). La conjetura de Goormaghtigh dice que solamente hay esos dos casos.
Utilizando el principio del palomar se puede demostrar fácilmente que para cada n y b tales que n y b son primos entre sí existe un repituno en base b que es múltiplo de n. Para ver esto considérense los repitunos R1(b),...,Rn(b). Supongamos que ninguno de los Rk(b) es divisible por n. Como hay n repitunos pero solamente n-1 restos distintos de cero módulo n, existen dos repitunos Ri(b) y Rj(b) con 1≤i<j≤n tales que Ri(b) y Rj(b) tienen el mismo resto módulo n. Se sigue entonces que Rj(b) - Ri(b) tiene resto 0 módulo n, es decir, es divisible por n. Rj(b) - Ri(b) consta de j - i unos seguidos por i ceros. Así, Rj(b) - Ri(b) = Rj-i(b) x 10i = Rj-i(b) x bi . Dado que n divide el lado de la izquierda, también divide el lado de la derecha, y como n y b son primos entre sí, n debe dividir a Rj-i(b) contradiciendo la suposición inicial.
La conjetura de Feit-Thompson afirma que Rq(p) nunca divide a Rp(q) para dos primos distintos p y q.
Factorización de los repitunos decimales La siguiente lista recoge la descomposición en factores primos de los sucesivos repitunos (Rn = 1, 11, 111, 1111, ...) . Los factores primos coloreados en indican que son "nuevos factores", es decir, que el factor primo coloreado de rojo divide a Rn pero que no divide a ningún Rk para todo k < n. Para más información, véase Factorization of repunit numbers.
R1 =1R2 =R3 = · R4 =11 · R5 = · R6 =3 · · 11 · · 37R7 = · R8 =11 · · 101 · R9 =32 · 37 · R10 =11 · 41 · 271 · R11 = · R12 =3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · R13 = · · R14 =11 · 239 · 4649 · R15 =3 · · 37 · 41 · 271 · R16 =11 · · 73 · 101 · 137 · R17 = · R18 =32 · 7 · 11 · 13 · · 37 · · 333667R19 =R20 =11 · 41 · 101 · 271 · · 9091 · R21 =3 · 37 · · 239 · · 4649 · R22 =112 · · · · 21649 · 513239R23 =R24 =3 · 7 · 11 · 13 · 73 · 101 · 137 · 9901 · R25 =41 · 271 · · · 182521213001R26 =11 · 53 · 79 · · 265371653 · R27 =33· 37 · · 333667 · R28 =11 · · 101 · · 239 · 4649 · 909091 · R29 = · · · · R30 =3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · · · 271 · · 9091 · 2906161R31 = · · R32 =11 · 17 · 73 · 101 · 137 · · · · · · 5882353R33 =3 · 37 · · 21649 · 513239 · R34 =11 · · · 2071723 · 5363222357 · R35 =41 · · 239 · 271 · 4649 · · R36 =32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9901 · 52579 · 333667 · R37 = · · R38 =11 · · R39 =3 · 37 · 53 · 79 · 265371653 · R40 =11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · · R41 = · · · R42 =3 · 72 · 11 · 13 · 37 · 43 · · 239 · 1933 · · 4649 · · 909091 · 10838689R43 = · · · R44 =112 · 23 · · 101 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · · R45 =32 · 31 · 37 · 41 · 271 · · 333667 · 2906161 · R46 =11 · · · · · R47 = · R48 =3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 5882353 · 99990001 · R49 =239 · 4649 · · R50 =11 · 41 · · 271 · · 9091 · 21401 · 25601 · 182521213001 ·
Los factores primos más pequeños de los sucesivos Rn son: 1, 11, 3, 11, 41, 3, 239, 11, 3, 11, 21649, 3, 53, 11, 3, 11, 2071723, 3, 1111111111111111111, 11, 3, 11, 11111111111111111111111, 3, 41, 11, 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, 3, 11, 107, 3, 41, 11, 3, 11, 2559647034361, 3, 733, 11, 3, 11, 41, 3, 493121, 11, 3, 11, 241573142393627673576957439049, 3, 12171337159, 11, 3, ...
Primos repitunos
La definición de repitunos tuvo su origen en las matemáticas recreativas al buscar sus factores primos.
Es fácil demostrar que si n es divisible por a, entonces Rn(b) es divisible por Ra(b):
donde es el d-ésimo polinomio ciclotómico y d recorre los divisores de n. Para p primo, , que tiene la forma esperada de un repituno cuando se sustituye x por b.
Por ejemplo, 9 es divisible por 3, y así R9 es divisible por R3. De hecho, 111111111 = 111 · 1001001. Los polinomios ciclotómicos correspondientes y son y respectivamente. Así, para que Rn sea primo, n debe ser necesariamente primo.
Pero no es suficiente con que n sea primo; por ejemplo, R3 = 111 = 3 · 37 no es primo. Excepto en este caso de R3, p solamente puede dividir a Rn para n primo si p = 2kn + 1 para algún k.
Primos repitunos decimales
Rn es primo para n = 2, 19, 23, 317, 1031,... (sucesión A004023 en OEIS). R49081 y R86453 son probablemente primos. El 3 de abril de 2007, Harvey Dubner (quien también encontró R49081) anunció que R109297 es un probable primo.Harvey Dubner, New Repunit R(109297) Luego anunció que no hay ningún otro primo del mismo tipo desde R86453 hasta R200000.Harvey Dubner, Repunit search limit El 15 de julio de 2007, Maksym Voznyy anunció que R270343 era probablemente primo,Maksym Voznyy, New PRP Repunit R(270343) junto con su intención de llegar hasta 400000. En noviembre de 2012 se han comprobado todos los demás candidatos hasta R2500000, pero no se ha encontrado ningún probable primo hasta ahora.
Se ha conjeturado que existen infinitos primos repitunosChris Caldwell, "The Prime Glossary: repunit" at The Prime Pages. dado que suelen aparecer tan frecuentemente como el teorema de los números primos predice: el exponente del N-ésimo primo repituno es generalmente alrededor de un múltiplo fijo del exponente del (N-1)-ésimo.
Los primos repitunos son un subconjunto trivial de los primos permutables, es decir, primos que siguen siendo primos después de cualquier permutación de sus dígitos.
Primos repitunos en base 2
Los primos repitunos en base 2 se llaman primos de Mersenne.
Primos repitunos en base 3
Los primeros primos repitunos en base 3 son:
13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013, ... ,
que corresponden a los siguientes valores de :
3, 7, 13, 71, 103, ... .
Primos repitunos en base 4
El único primo repituno en base 4 es 5 (escrito 11 en base 4). , y 3 siempre divide a cuando n es impar y a cuando n es par. Para n mayor que 2, tanto como son mayores que 3, así que eliminando el factor 3 todavía quedan dos factores mayores que 1, así que el número no puede ser primo.
Primos repitunos en base 5
Los primeros primos repitunos en base 5 son
31, 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531, 35032461608120426773093239582247903282006548546912894293926707097244777067146515037165954709053039550781, 815663058499815565838786763657068444462645532258620818469829556933715405574685778402862015856733535201783524826169013977050781 ...,
que corresponden a los siguientes valores de
3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, ... .
Primos repitunos en base 6
Los primeros primos repitunos en base 6 son
7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, ...,
que corresponden a los siguientes valores de :
2, 3, 7, 29, 71, ...
Primos repitunos en base 7
Los primeros primos repitunos en base 7 son 2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457,138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601 que corresponden a los siguientes valores de : 5, 13, 131, 149, ...
Primos repitunos en base 8
El único primo repituno en base 8 es 73 (escrito 111 en base 8). , y 7 divide a cuando n no es divisible por 3 y a cuando n es un múltiplo de 3.
Primos repitunos en base 9
No existe ninguno. , y 2 siempre divide tanto a como a .
Primos repitunos en base 12
Los primeros primos repitunos en base 12 son
13, 157, 22621, 29043636306420266077, 435700623537534460534556100566709740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328327968191581, 388475052482842970801320278964160171426121951256610654799120070705613530182445862582590623785872890159937874339918941
que corresponden a los siguientes valores de : 2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, ...
Primos repitunos en base 20 Los únicos primos o probablemente primos repitunos en base 20 son los correspondientes a estos valores de : 3, 11, 17, 1487, 31013, 48859, 61403
Los tres primeros repitunos en base 20 primos escritos en expresión decimal son 421, 10778947368421 y 689852631578947368421
Bases b tales que Rp(b) es primo para p primo
La base más pequeña para la que es primo (donde es el primo ésimo) figura a continuación
2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12 , 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606 , 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, 13, 136, 220, 162, 35, 10, 218, 19, 26, 39, 12, 22, 67, 120, 195 , 48, 54, 463, 38, 41, 17, 808, 404, 46, 76, 793, 38, 28, 215, 37, 236, 59, 15, 514, 260, 498, 6, 2, 95, 3 , ...
La base más pequeña tal que es primo (donde es el primo ésimo) figura a continuación
3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70 , 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5 , 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, 159, 10, 16, 209, 2, 16, 23, 273, 2, 460, 22, 3, 36, 28, 329 , 43, 69, 86, 271, 396, 28, 83, 302, 209, 11, 300, 159, 79, 31, 331, 52, 176, 3, 28, 217, 14, 410, 252, 718, 164 , ...