mini|Hipercubo de 4 dimensiones espaciales girando, tal como se vería proyectado en el espacio tridimensional. mini|Icositetracoron thumb|256px|Pentacoron Una proyección 3D de un Pentácoro (4D) haciendo doble rotación con dos de sus planos ortogonales. El término cuarta dimensión aparece en diversos contextos como la física, las matemáticas, la ciencia ficción y la espiritualidad. En cada contexto el significado es diferente:
En física, se hace referencia a la cuarta dimensión al hablar del tiempo, principalmente desde el planteamiento del espacio-tiempo en la teoría de la relatividad. En matemática, el concepto aparece asociado o bien a espacios euclídeos de más de tres dimensiones o, más generalmente, a espacios localmente euclídeos o 4-variedades diferenciables. En la ciencia ficción hace referencia a otros mundos o universos. En la espiritualidad la cuarta dimensión hace referencia al espacio donde podemos habitar en un estado de libre consciencia.
Historia de la cuarta dimensión El interés en las dimensiones más altas alcanzó su clímax entre 1870 y 1920.Michio Kaku, hyperspace, 1996. En esos años se convirtió en tema frecuente en la literatura fantástica, el arte e incluso algunas teorías científicas. La cuarta dimensión, entendida como dimensión espacial adicional (no como dimensión temporal, como en la teoría de la relatividad) apareció en las obras literarias de Oscar Wilde, Fiódor Dostoyevski, Marcel Proust, H. G. Wells y Joseph Conrad, inspiró algunas obras musicales de Aleksandr Skriabin, Edgar Varèse y George Antheil y algunas obras plásticas de Pablo Picasso y Marcel Duchamp, influyendo en el desarrollo del cubismo. Incluso personajes tan diversos como el psicólogo William James, la escritora Gertrude Stein o el socialista revolucionario Vladímir Lenin se interesaron por el tema.
Igualmente, los matemáticos habían estado interesados en el tema al tratar de generalizar los conceptos de la geometría euclidiana tridimensional. El matemático Charles L. Dodgson, que enseñó en la Universidad de Oxford, deleitó a generaciones de escolares escribiendo libros bajo el pseudónimo de Lewis Carroll, que incorporaban algunas ideas sobre la cuarta dimensión. Desde el punto de vista académico, el estudio general de la geometría de la cuarta dimensión es en gran parte resultado de los trabajos de Bernhard Riemann. Charles Howard Hinton, matemático y escritor de ciencia ficción británico, acuñó muchos neologismos para describir elementos en la cuarta dimensión. De acuerdo con el Oxford English Dictionary, fue el primero en emplear la palabra tesseract en su libro Una nueva era del pensamiento. También inventó las palabras “kata” (del griego “abajo”) y “ana” (del griego “arriba”) para describir las dos direcciones opuestas en la cuarta dimensión, equivalentes a derecha-izquierda, arriba-abajo, y adelante-atrás (véase su obra La cuarta dimensión).
Los trabajos matemáticos sobre geometrías multidimensionales y geometrías no euclidianas habían sido considerados por los físicos como simples abstracciones matemáticas, hasta que Henri Poincaré probó que el grupo de transformaciones de Lorentz, que dejaban invariantes las ecuaciones del electromagnetismo, podían ser interpretadas como "rotaciones" en un espacio de cuatro dimensiones. Más tarde, los trabajos de Einstein y la interpretación geométrica de estos por parte de Hermann Minkowski llevaron a la aceptación de la cuarta dimensión como una descripción necesaria para explicar los hechos observados relacionados con el electromagnetismo. Sin embargo, aquí la "cuarta dimensión" no era un lugar separado del espacio tridimensional (como en varias de las obras de ficción de la época) ni tampoco una dimensión espacial análoga a las otras tres dimensiones espaciales, sino una dimensión temporal que solo puede recorrerse hacia el futuro. En la teoría general de la relatividad el campo gravitatorio es explicado como un efecto geométrico de la curvatura de un espacio-tiempo de cuatro dimensiones.
Más tarde, la teoría de Kaluza-Klein propuso que no solo el campo gravitatorio podía ser interpretado de forma más sencilla como curvatura de un "espacio" de más de tres dimensiones, sino que si se introducía una nueva dimensión espacial enrollada o «compactificada», también el campo electromagnético podía ser interpretado como un efecto geométrico de la curvatura de dimensiones superiores. Así, Kaluza proponía una teoría de campo unificado del electromagnetismo y la gravedad en un espacio-tiempo de cinco dimensiones: con una dimensión temporal, tres dimensiones espaciales extendidas y una dimensión espacial «compactificada» adicional, que, debido a su condición de compactificada, no era directamente visible, pero su efecto era perceptible en forma de campo más electromagnético.
Cuarta dimensión en matemáticas Un ángulo recto se describe como un cuarto de una revolución. La geometría cartesiana escoge direcciones ortogonales arbitrariamente a través del espacio, lo que significa que cada dirección está en ángulo recto con las demás. Las tres dimensiones ortogonales del espacio se conocen como altitud, longitud y latitud. La cuarta dimensión, por lo tanto, es la dirección en el espacio con ángulo recto a las 3 direcciones observables.
Vectores espaciales mini|Demostración de 1 a 5 dimensiones. Un vector espacial es un conjunto de vectores, los cuales podemos imaginarlos como flechas, que proviene de un simple lugar llamado origen (vectores geométricos), que apuntan a otros lugares.
Un punto es un objeto de cero dimensiones. No tiene extensión en el espacio ni propiedades, como una flecha, pero sin longitud. Este vector es llamado el vector cero y es el más simple vector espacial.
Una línea es un objeto unidimensional. Si escogemos un cierto vector distinto a cero en una cierta dirección, este vector tiene cierta longitud definida. Ese vector tiene una cabeza en un cierto punto en espacio y una cola en el origen. Si pensamos en estirar que ese vector así sea dos veces su largo, tres veces, etcétera y uniformemente, tomando todas las longitudes posibles (incluso la longitud cero, conseguir el vector cero), conseguiremos una sola línea con una sola dimensión: La de la longitud. Todos los vectores que describen puntos en esta línea serían paralelos. Aunque para visualizar la línea es necesario que ésta tenga un ancho mínimo, sin embargo, una línea de 1D no la tendría.
Un plano es un objeto de dos dimensiones. Tiene longitud y anchura, pero no profundidad - algo como una hoja de papel, o más exactamente algo como las imágenes en un televisor común. El pensamiento en un plano en términos de vectores puede ser un poco más desafiante. Si pensamos en tomar un vector y lo movemos de modo que su cola esté tocando la cabeza del primero y esté formando un vector con su cola en el origen y la cabeza en la cabeza del segundo vector colocado de nuevo, tenemos una manera razonable de hablar de vectores de adición. Si tenemos dos vectores que no sean paralelos, podemos hablar de todos los puntos que podemos alcanzar por o solamente el estirar o ningunos de los vectores, y, agregando estos vectores juntos, estos puntos forman un plano.
El espacio, como lo percibimos, es tridimensional. Podemos pensar en poner una línea junto con un plano. Estas líneas son como un emparedado. Para conseguir a un cierto punto en espacio, podemos imaginarnos el viajar encima de la línea y después el movernos a través del plano al punto. Entonces tenemos tres vectores a pensar alrededor, uno a viajar una cierta distancia encima de la línea y dos para conseguir a un cierto punto en espacio.
Para tres rectas ortogonales en el espacio tridimensional (x, "y", y z) existe una cuarta, normal al espacio, ortogonal a estas tres rectas, que forma un eje p. ej. w.
El producto vectorial es la determinante de una matriz 4×4, donde una de las filas (o columnas) son los vectores unitarios h, i, j y k y las demás (filas o columnas respectivamente) están formadas por las componentes de tres vectores tetradimensionales cualesquiera, este producto nos dará un cuarto vector perpendicular a estos tres mismos.
Geometría tetradimensional en cuatro dimensiones espaciales La geometría euclidiana prevé una mayor variedad de formas para existir que en tres dimensiones. Los poliedros tridimensionales son recintos espaciales hechos de caras de dos dimensiones conectadas, los policronos cuatridimensionales son recintos del espacio cuadridimensional hechos de poliedros tridimensionales. Donde en tres dimensiones, hay exactamente cinco poliedros regulares, o los sólidos platónicos, que pueden existir, seis policronos regulares existen en la cuarta dimensión. Cinco de los seis se pueden interpretar como extensiones naturales de los sólidos platónicos, así como el cubo, un sólido platónico, es una extensión del cuadrado de dos dimensiones. El pentachoron está hecho de 5 tetraedros para las caras y 10 caras triangulares, y es el análogo cuadridimensional del tetraedro. El teseracto o hipercubo se compone de 8 caras cúbicas y de 24 cuadrados, y es el politopo cuadridimensional medido. Los teseractos se doblan, la 16-celdas, son el equivalente del octaedro, pues son ambos politopos de cruz. Los politopos de 120 celdas y los de 600 celdas se doblan de igual modo, y son análogos al dodecaedro y al icosaedro, respectivamente. El de 24 celdas es un policrono regular único y que no tiene ningún equivalente tridimensional. Apenas pues la esfera, o 2-esfera, es una superficie de dos dimensiones curvada compuesta de todos los puntos equidistantes de un punto central dado, en un espacio tridimensional, la 3-esfera, una clase de hiperesfera, es el espacio que contiene todos los puntos equidistantes a un punto central dado, en un espacio cuadridimensional. Cada sección transversal tridimensional de un 3-esfera es un 2-esfera.
Pogamos un ejemplo: en un hiperplano(un plano que representa tres dimensiones como una hoja) se puede representar una cuarta dimensión como la prolongación del plano en la tercera. La fórmula de una esfera 2D sería R2 = x2 + y²; en tres, R2 = x2 + y2 + z2 así, podríamos seguir con una cuarta, R2= x2 + y2 + z2 + w2 y por tanto si despejamos para poder adaptarlo a nuestro mundo.
(R2-w2)= x2+y2+z2
Analogía dimensional La analogía dimensional se usa frecuentemente para comprender el salto de una dimensión (en este caso, la tercera dimensión) a una más alta (cuarta dimensión). La analogía dimensional consiste en resolver un problema en n + 1 dimensiones relacionándolo primero con un problema análogo de (n - 1) dimensión, vale decir, "una dimensión menos". E igualmente debe analizarse el caso de cómo se relaciona el problema en n con el de (n + 1) dimensiones, es decir, "una más".
Ejemplos Edwin Abbott Abbott en su libro Planilandia (Flatland) escribe sobre un "ser cuadrado" que vive en un mundo de dos dimensiones, como la superficie de un pedazo de papel. Este "cuadrado" se enfrenta a experimentos de un ser tridimensional. El ser tridimensional es percibido por el "cuadrado" como un ser aparentemente divino, ya que puede poner y quitar objetos de una caja fuerte sin romperla ni abrirla (moviéndolos a través de su tercera dimensión), ver todo desde de la perspectiva de dos dimensiones sea incluido detrás de las paredes (puesto que ve "sobre" Planilandia), y totalmente invisible para los habitantes de Planilandia, puesto que está "arriba" y una dimensión por arriba de las dos dimensiones en las que el cuadrado está atrapado. No obstante, el ser tridimensional podría manifestarse en el mundo de dos dimensiones, pero solo parcialmente, si fuera una esfera, aparecería como una secuencia de círculos sucesivos "que cambian de tamaño" (intersecciones de la esfera con el plano de dos dimensiones). Aplicando analogía dimensional, uno puede deducir que el ser cuatridimensional sería capaz de hazañas similares de nuestra perspectiva tridimensional.