miniatura|La espiral logarítmica de la concha del Nautilus es una clásica imagen usada para representar el (de)crecimiento continuo, concepto clave del cálculo.
El cálculo infinitesimal o simplemente cálculo constituye una rama muy importante de las matemáticas. En la misma manera que la geometría estudia el espacio y el álgebra estudia las estructuras abstractas, el cálculo es el estudio del cambio y la continuidad (más concretamente, de los cambios continuos, en oposición a los discretos).
El cálculo infinitesimal se divide en dos áreas: cálculo diferencial y cálculo integral. El cálculo diferencial estudia cómo computar la función que describe el cambio de otra función de variables continuas (operación de orden superior llamada «derivada»), mientras que el cálculo integral estudia la operación inversa (antiderivadas e integrales) y las series infinitas. En su formulación contemporánea, ambos campos se fundamentan en el concepto de límite para poder calcular cambios infinitesimalmente pequeños; y se relacionan por medio del teorema fundamental del cálculo.
Desde su aparición en el , el cálculo infinitesimal se ha vuelto imprescindible para la ciencia y la ingeniería (ver sección de Aplicaciones) y constituye gran parte de la educación universitaria moderna. Marcó un hito en la Revolución científica; al grado de que algunos historiadores fechan el inicio de la Ilustración con la publicación de las obras de Newton.J.B. Shank, The Newton Wars and the Beginning of the French Enlightenment (2008), "Introduction"
Se usa para resolver muchos problemas para los cuales las matemáticas de la antigüedad fueron insuficientes; si bien parte de conocimientos clásicos en álgebra, trigonometría y geometría analítica. Encontrar la tangente en un punto a una curva, hacer mediciones exactas de longitudes, áreas y volúmenes curvos; determinar si una suma de infinitos sumandos converge o diverge, y encontrar situaciones de equilibrio y optimización en funciones de números reales son ejemplos de las puertas que el cálculo vino a abrir para las matemáticas. A su vez, el cálculo tiene generalizaciones y aplicaciones en otras áreas de la matemática; como ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos, teoría del caos, cálculo vectorial, geometría diferencial, topología, análisis matemático, probabilidad, estadística, etc.
En la matemática contemporánea y en los programas de estudio para matemáticos, el cálculo es usualmente abordado como una introducción a la disciplina conocida como análisis matemático, que generaliza y formaliza el estudio de funciones y límites.
Historia miniatura|derecha|Isaac Newton es uno de los más famosos contribuyentes del desarrollo del cálculo, el cual utilizó en sus leyes de movimiento y gravitación.
miniatura|derecha|Gottfried Wilhelm Leibniz fue originalmente acusado de plagiar el trabajo inédito de Isaac Newton, pero es ahora considerado como un inventor independiente y gran desarrollador del cálculo.
Edad Antigua El período antiguo introdujo algunas de las ideas del cálculo integral, pero no parece haber desarrollado estas ideas en una manera rigurosa o sistemática. En el cálculo de áreas y volúmenes, la función básica del cálculo integral puede ser rastreada en el tiempo hasta los papiros matemáticos de Moscú que datan del año 1890 a. C, en los que un egipcio calculó satisfactoriamente el volumen del tronco de una pirámide.No existe evidencia exacta de como se hizo esto; el ya desaparecido profesor de matemáticas estadounidense Morris Kline en su texto Mathematical thought from ancient to moddern times Volume I, sugiere que pudo ser por ensayo y error. Los babilonios pueden haber descubierto la regla trapezoidal mientras hacían observaciones astronómicas de Júpiter.
De la escuela de los matemáticos griegos, Eudoxo (408−) usó el método exhaustivo, el cual prefiguraba el concepto de límite, para calcular áreas y volúmenes, mientras que Arquímedes (287−) desarrolló más allá su idea inventando un método heurístico, denominado exhaustación, que se asemeja al cálculo infinitesimal.
El método exhaustivo fue más tarde usado en China por Liu Hui en el para encontrar el área de un círculo. En el , Zu Chongzhi usó lo que más tarde sería llamado la teoría de los indivisibles por el matemático italiano Bonaventura Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera.
Edad Media
Cerca del año , el matemático islámico Alhacén fue el primero en derivar la fórmula para la suma de la cuarta potencia de una progresión aritmética, usando un método a partir del cual es fácil encontrar la fórmula para la suma de cualquier potencia integral de mayor orden.Victor J. Katz (1995). "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3), pp. 163-174.
En el , el polímata chino Shen Kuo desarrolló ecuaciones que se encargaban de integrar. En el , el matemático indio, Bhaskara II, desarrolló una derivada temprana representando el cambio infinitesimal, y describió una forma temprana del «teorema de Rolle».Ian G. Pearce. Bhaskaracharya II.
También en el , el matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi descubrió la derivada de la función cúbica, un importante acontecimiento en el cálculo diferencial.J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2), pp. 304-309.
En el , Madhava de Sangamagrama, en conjunto con otros matemáticos y astrónomos de la Escuela de Kerala, describieron casos especiales de las series de Taylor, los cuales están referidos en el texto Yuktibhasa.
Modernidad En la época moderna, descubrimientos independientes relacionados con el cálculo se estaban llevando a cabo por la matemática japonesa del , gracias al aporte de matemáticos como Seki Kōwa, quien expandió el método exhaustivo.
En Europa, el trabajo fundacional fue un tratado del clérigo y matemático italiano Bonaventura Cavalieri, quien argumentó que los volúmenes y áreas deberían ser calculados como las sumas de los volúmenes y áreas de delgadas secciones infinitesimales. Estas ideas eran similares a las expuestas en el trabajo El método de los teoremas mecánicos de Arquímedes, el cual estuvo perdido hasta principios del . El trabajo de Cavalieri no fue bien respetado ya que sus métodos pueden llevar a resultados erróneos, y porque las cantidades infinitesimales que introdujo eran desacreditadas al principio.
El estudio formal del cálculo combinó los infinitesimales de Cavalieri con el cálculo de diferencias finitas desarrollado en Europa más o menos al mismo tiempo. La combinación fue lograda por John Wallis, Isaac Barrow y James Gregory, probando estos últimos el teorema fundamental del cálculo integral cerca del año 1675.
La regla del producto y la regla de la cadena, la noción de derivada de mayor orden, las series de Taylor, y las funciones analíticas fueron introducidas por Isaac Newton en una notación idiosincrásica que usó para resolver problemas de física matemática. En sus publicaciones, Newton formuló sus ideas para acomodar el idioma matemático de la época, utilizando argumentos informales como el de las fluxiones, que generaron gran escozor y escepticismo en otros filósofos de la época; notablemente Berkeley. Usó los métodos del cálculo para resolver el problema del movimiento planetario, la forma de la superficie de un fluido rotante, y se refirió a lo achatada que es la tierra por los polos, así como a muchos otros problemas, los cuales discutió en Principia mathematica. En otro trabajo, desarrolló una serie de expansiones para las funciones, incluyendo las potencias fraccionarias e irracionales. Fue claro que Newton entendía los principios de las series de Taylor. No publicó todos estos descubrimientos. En su tiempo los sistemas infinitesimales eran considerados como reprochables.
Estas ideas fueron sistematizadas en un verdadero cálculo de infinitesimales por Gottfried Wilhelm Leibniz, quien fue originalmente acusado de plagio por Newton. Es ahora reconocido como inventor independiente del cálculo y un gran contribuyente a este. Su principal contribución fue el proveer un conjunto de reglas claras para la manipulación de cantidades infinitesimales, permitiendo el cómputo de derivadas de segundo orden y de orden superior, y estableciendo la regla del producto y regla de la cadena en su forma diferencial e integral. A diferencia de Newton, Leibniz le puso mucha atención al formalismo y a menudo le dedicaba varios días a determinar los símbolos apropiados para los conceptos.
Usualmente se le acredita a ambos Leibniz y Newton la invención del cálculo. Newton fue el primero en aplicar el cálculo a la física general y Leibniz desarrolló mucho de la notación usada en cálculo hasta al menos principio del . Las ideas principales que ambos Newton y Leibniz estipularon fueron las leyes de diferenciación e integración, las segundas derivadas, las derivadas de orden superior, y la noción de una aproximación de series de polinomios. Ya por la época de Newton, el teorema fundamental de cálculo era conocido.
Cuando Newton y Leibniz primero publicaron sus resultados, hubo gran controversia sobre qué matemático (y por ende qué país) merecía el crédito por la invención de esta disciplina. Newton llegó primero a sus resultados, pero Leibniz publicó primero. Newton acusó a Leibniz de robar sus ideas de sus notas inéditas, las cuales Newton había compartido con unos cuantos miembros de la Royal Society. Esta controversia dividió a los matemáticos de habla inglesa de los matemáticos continentales por varios años, causando un retraso de las matemáticas inglesas. Un cuidadoso examen de los papeles de ambos matemáticos demuestra que ellos llegaron a sus resultados independientemente, con Leibniz empezando primero con la integración y Newton con la diferenciación. Hoy, se les da crédito a ambos matemáticos por desarrollar el cálculo independientemente. Fue Leibniz, sin embargo, quien le dio el nuevo nombre a su disciplina. Newton llamó su cálculo el «método de las fluxiones». La simbología usada por Newton, que se ha denominado como notación de Newton (tal como o x' para la derivada primera, o x'' para la derivada segunda, etc.) a veces aparece en física y situaciones que no requieren de formalismo matemático, mientras que la notación de Leibniz (dy/dx, etc.) es la preferida por los libros especializados sobre cálculo.
Desde los tiempos de Leibniz y Newton, muchos matemáticos han contribuido al desarrollo continuo del cálculo. En el , el cálculo comenzó a ser planteado más rigurosamente por matemáticos como Cauchy, Riemann y Weierstrass. También fue en este período que las ideas del cálculo fueron generalizadas al espacio euclidiano y al plano complejo. Lebesgue generalizó la noción de la integral de tal manera que virtualmente cualquier función tenga una integral, mientras que Laurent Schwartz extendió la diferenciación casi de la misma manera.
El cálculo es un tema omnipresente en la mayoría de los programas de educación superior y en las universidades. Los matemáticos alrededor del mundo continúan contribuyendo al desarrollo de esta disciplina, la cual ha sido considerada como uno de los logros más grandes del intelecto humano.UNESCO – World Data on Education El desarrollo de las ecuaciones diferenciales ha jugado un gran papel de cambio cualitativo en la ciencia y la tecnología, comparable con el control del fuego en la época primitiva, las ecuaciones diferenciales son un salto enorme para la ciencia.
Conjunto de Operadores Fraccionales