En geometría, el teorema de las circunferencias de Descartes (también denominado teorema de los círculos de Descartes, o simplemente teorema de Descartes) establece que por cada cuatro circunferencias que se besan entre sí, es decir, que son tangentes en seis puntos, sus radios satisfacen una determinada ecuación de segundo grado. Resolviendo esta ecuación, se puede construir una cuarta circunferencia que sea tangente a tres circunferencias dadas mutuamente tangentes entre sí. El teorema recibe su nombre del matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650), quien lo formuló en 1643.

Un poema publicado en 1936 del matemático y químico británico Frederick Soddy (1877-1956), titulado «The Kiss Precise (El Beso Preciso)», resume el teorema mencionando las «curvaturas» (los valores inversos de los radios con signo) de las cuatro circunferencias:

Se deducen casos especiales del teorema cuando una o dos de las circunferencias se sustituyen por una línea recta (que tiene curvatura cero) o cuando las curvaturas son números enteros o cuadrados perfectos. Una versión del teorema que utiliza números complejos permite calcular los centros de las circunferencias, y no solo sus radios. Con una definición adecuada de curvatura, el teorema también se aplica en geometría esférica y en geometría hiperbólica. En dimensiones superiores, una ecuación cuadrática análoga se aplica a sistemas de esferas o hiperesferas tangentes por pares.

Historia Los problemas geométricos que involucran circunferencias tangentes han sido objeto de estudio durante milenios. En la antigua Grecia del , Apolonio de Perge dedicó un libro entero al tema, titulado [Tangencias]. El texto se ha perdido, y se conoce en gran parte a través de una descripción de su contenido realizada por Papo de Alejandría y a través de referencias fragmentarias a él en la matemática islámica. Sin embargo, la geometría griega se centró en gran medida en los problemas resolubles con regla y compás. Por ejemplo, el problema de Apolonio, estrechamente relacionado con el teorema de Descartes, pide la construcción de un circunferencia tangente a tres circunferencias dadas que no necesitan ser tangentes entre sí. En cambio, el teorema de Descartes se formula utilizando relaciones algebraicas entre números que describen formas geométricas. Este hecho es característico de la geometría analítica, un campo iniciado por René Descartes y por Pierre de Fermat en la primera mitad del .

Descartes abordó brevemente el problema de las circunferencias tangentes en 1643, en dos cartas a la princesa Isabel de Bohemia y del Palatinado, e inicialmente le planteó el problema de Apolonio. Después de que los resultados parciales de Isabel revelaran que resolver el problema completo analíticamente sería demasiado tedioso, simplificó el problema al caso en que las tres circunferencias dadas son mutuamente tangentes, y al resolver este problema simplificado, ideó la ecuación que describe la relación entre los radios, o curvaturas, de cuatro circunferencias tangentes por pares. Este resultado se conoció como el teorema de Descartes, aunque el propio Descartes no dejó constancia del razonamiento mediante el cual halló esta relación.

En el wasan (nombre que recibe el estudio de problemas geométricos en Japón) se hacía referencia frecuentemente a problemas que involucraban circunferencias y sus tangencias, y el matemático japonés Yamaji Nushizumi formuló una versión del teorema de las circunferencias de Descartes en 1751. Al igual que Descartes, lo expresó como una ecuación polinómica referida a los radios en lugar de a sus curvaturas. El caso especial de este teorema para una línea recta y tres circunferencias se registró en una tablilla japonesa sangaku de 1824.

El teorema de Descartes fue redescubierto en 1826 por Jakob Steiner, en 1842 por Philip Beecroft, y en 1936 por Frederick Soddy. Este último dio su versión de la proposición en forma de un poema, The Kiss Precise, y lo publicó en la revista Nature. Las circunferencias que se besan en este problema a veces se conocen como circunferencias de Soddy. Soddy también extendió el teorema a las esferas, y en otro poema describió la cadena de seis esferas cada una tangente a sus vecinas y a tres esferas dadas mutuamente tangentes, una configuración posteriormente conocida como sexteto de Soddy. Thorold Gosset y otros geómetras extendieron el teorema y el poema a dimensiones arbitrarias. La versión de Gosset fue publicada al año siguiente. La generalización a veces se llama el teorema de Soddy-Gosset, aunque tanto el sexteto como la versión tridimensional eran conocidos antes, en una tablilla japonesa sangaku y en una obra de 1886 de Robert Lachlan. En 2025 se demostró una generalización para múltiples circunferencias besantes en dos dimensiones.

Se han publicado múltiples demostraciones del teorema. La demostración de Steiner utiliza la cadena de Pappus y el teorema de Viviani. Las demostraciones de Philip Beecroft y de Harold Scott MacDonald Coxeter implican cuatro circunferencias más, que pasan por ternas de tangencias de las tres circunferencias originales. Coxeter también proporcionó una demostración utilizando geometría inversiva. Demostraciones adicionales implican argumentos basados en simetría, cálculos del producto exterior o manipulación algebraica de la fórmula de Herón (para lo cual véase circunferencias de Soddy de un triángulo). El resultado también se puede deducir de la observación de que el determinantes de Cayley-Menger de los cuatro centros de las circunferencias coplanarias es cero.

Enunciado

El teorema de Descartes se enuncia más fácilmente en términos de las curvaturas de las circunferencias. La "curvatura con signo" (o "curvatura") de un circunferencia se define como donde es su radio. Cuanto mayor sea un circunferencia, menor será la magnitud de su curvatura, y viceversa. El signo en (representado por el símbolo ) es positivo para las tres circunferencias dadas y para una circunferencia que es "externamente" tangente a las mencionadas circunferencias; pero para una circunferencia "internamente" tangente (es decir, que queda "circunscrita") a las tres circunferencias dadas, el signo es negativo. Si una línea recta se considera un circunferencia degenerada con curvatura cero (y, por lo tanto, radio infinito), el teorema de Descartes también se aplica a una línea recta y a tres circunferencias que son tangentes entre sí (véase circunferencia generalizada).

Para cuatro circunferencias tangentes entre sí en seis puntos distintos, con curvaturas el teorema de Descartes afirma que:

Si una de las cuatro curvaturas se considera variable y las demás constantes, entonces se obtiene una ecuación de segundo grado. Para hallar el radio de una cuarto circunferencia tangente a tres circunferencias que se besan entre sí, la ecuación cuadrática se puede resolver como:

El símbolo indica que, en general, esta ecuación tiene dos soluciones, y cualquier terna de circunferencias tangentes entre sí tiene dos circunferencias (o rectas degeneradas) tangentes a ellas. Los criterios específicos del problema pueden favorecer una de estas dos soluciones sobre la otra en cualquier problema dado.

El teorema no se aplica a sistemas de circunferencias con más de dos circunferencias tangentes entre sí en el mismo punto. Requiere que los puntos de tangencia sean distintos. Cuando más de dos circunferencias son tangentes en un mismo punto, puede haber una infinidad de circunferencias de este tipo, con curvaturas arbitrarias (véase haz).

Localización de los centros de las circunferencias Para determinar completamente una circunferencia, se debe conocer no solo su radio (o curvatura), sino también su centro. La ecuación pertinente se expresa con mayor claridad si las coordenadas cartesianas se interpretan como números complejos . La ecuación se asemeja entonces al teorema de Descartes y, por lo tanto, se denomina «teorema complejo de Descartes». Dadas cuatro circunferencias con curvaturas y centros se cumple la siguiente igualdad además de la :

Una vez hallada utilizando la , se puede proceder a calcular resolviendo la como una ecuación cuadrática, lo que resulta en una forma similar a la :

De nuevo, en general, hay dos soluciones correspondientes a las dos soluciones El signo más/menos en la fórmula anterior no corresponde necesariamente al signo más/menos en la fórmula

Casos especiales

Tres circunferencias congruentes Cuando tres de los cuatro circunferencias son congruentes (es decir, tienen igual radio, y por lo tanto, igual curvatura), sus centros forman un triángulo equilátero, al igual que sus puntos de tangencia. Las dos posibilidades para una cuarta circunferencia (tangente a las otras tres) son concéntricas, y la se reduce a:

Una o más rectas

Si una de las tres circunferencias se reemplaza por una línea recta tangente a las circunferencias restantes, entonces su curvatura es cero y se elimina de la Por ejemplo, entonces la se puede factorizar como :

y la se simplifica :

Sacar la raíz cuadrada de ambos lados conduce a otra formulación alternativa de este caso,

que se ha descrito como "una especie de versión demente del teorema de Pitágoras".

Si dos circunferencias se sustituyen por rectas, la tangencia entre las dos circunferencias sustituidas se convierte en un paralelismo entre las dos rectas sustituidas. En este caso, la se reduce a la igualdad trivial:

Esto corresponde a la observación de que, para que las cuatro curvas permanezcan mutuamente tangentes, las otras dos circunferencias deben ser

Curvaturas enteras

Cuando cuatro circunferencias tangentes descritas por la tienen curvaturas enteras, la cuarta circunferencia alternativa descrita por la segunda solución de la ecuación también debe tener una curvatura entera. Esto se debe a que ambas soluciones difieren un entero en la raíz cuadrada de un entero, por lo que cualquiera de las soluciones solo puede ser un entero si esta raíz cuadrada, y por lo tanto la otra solución, también es un entero. Cada cuatro enteros que satisfacen la ecuación del teorema de Descartes forman las curvaturas de cuatro circunferencias . Las cuádruplas enteras de este tipo también están estrechamente relacionadas con los triángulo heronianos, triángulos con lados y área

Partiendo de cuatro circunferencias mutuamente tangentes cualesquiera y reemplazando repetidamente una de ellas por su solución alternativa (operación denominada salto de Vieta), de todas las maneras posibles, se obtiene un sistema de infinitas circunferencias tangentes llamado tamiz de Apolonio. Cuando las cuatro circunferencias iniciales tienen curvaturas enteras, también las tiene cada reemplazo y, por lo tanto, todas los circunferencias del tamiz tienen curvaturas enteras. Cuatro circunferencias tangentes cualesquiera con curvaturas enteras pertenecen a una de estas juntas, descrita únicamente por su "raíz cuádruple" de las cuatro circunferencias mayores y las cuatro curvaturas menores. Esta "raíz cuádruple" se puede obtener, a partir de cualquier otra "raíz cuádruple" del mismo tamiz, reemplazando repetidamente la circunferencia menor por una mayor que resuelva la misma ecuación de Descartes, hasta que dicha reducción sea imposible.