En matemáticas, el fenómeno de Gibbs es el comportamiento oscilatorio de la serie de Fourier de una función definida a trozos periódica y continuamente diferenciable que se produce alrededor de una discontinuidad de salto. La -ésima serie parcial de Fourier hasta el de la función (formada por la suma de los primeros términos de la serie de Fourier de la función) produce grandes picos alrededor del punto de salto, generando sobreimpulsos y subimpulsos respecto a los valores de la función. A medida que se utilizan más términos de la sinusoide, este error de aproximación tiende a un límite de aproximadamente el 9% del salto, aunque la suma de la serie de Fourier infinita finalmente converge en casi todas partes (es decir, alcanza la convergencia en todos los puntos continuos, pero no en los puntos de discontinuidad).
El fenómeno de Gibbs fue observado por físicos experimentales y se creía que se debía a imperfecciones en los aparatos de medición, Section 4.7. pero en realidad es un resultado matemático. Es una de las causas de la aparición de los denominados artefactos de anillo en el procesamiento de señales.
Descripción El fenómeno de Gibbs es un comportamiento de la serie de Fourier de una función con una discontinuidad de salto y se describe de la siguiente manera:
A medida que se toman más constituyentes o componentes de la serie de Fourier, esta última muestra el primer exceso en el comportamiento oscilatorio alrededor del punto de salto que se acerca al ~ 9 % del salto (completo), y esta oscilación no desaparece sino que se acerca al punto en el que la integral de la oscilación se acerca a cero (es decir, a la energía cero en la oscilación).
En el punto de salto, la serie de Fourier proporciona el promedio de los límites de ambos lados de la función hacia el punto.
Ejemplo de la onda cuadrada Las tres imágenes de la derecha demuestran el fenómeno de Gibbs para una onda cuadrada (con una amplitud de pico a pico de de a y la periodicidad ) cuya serie parcial de Fourier hasta el -ésimo término es
donde . Más precisamente, esta onda cuadrada es la función que es igual a entre y y entre y para cada número entero . Por lo tanto, esta onda cuadrada tiene una discontinuidad de salto de altura de pico a pico en cada múltiplo entero de .
A medida que se agregan más términos sinusoidales (es decir, aumentando ), el error de la serie parcial de Fourier converge a una altura fija. Pero debido a que el ancho del error continúa estrechándose, el área del error – y por ende, la energía del error – converge a 0. El análisis de la onda cuadrada revela que el error excede la altura (desde cero) de la onda cuadrada en
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o alrededor del 9% del salto completo . De manera más general, en cualquier discontinuidad de una función continuamente diferenciable por partes con un salto de , la serie parcial de Fourier th de la función (para un valor de muy grande) sobrepasará este salto por un error que se aproxima a en un extremo y lo sobrepasará en la misma cantidad en el otro extremo. Por lo tanto, el "salto completo" en la serie parcial de Fourier será aproximadamente un 18% mayor que el salto completo en la función original. En la discontinuidad, la serie parcial de Fourier convergerá al punto medio del salto (independientemente del valor real de la función original en la discontinuidad) como consecuencia del teorema de Dirichlet. La cantidad
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a veces se conoce como "constante de Wilbraham-Gibbs".Steven R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge University Press, 2003, Section 4.1 Gibbs-Wilbraham constant, p. 249.
Historia El fenómeno de Gibbs fue observado y analizado por primera vez por Henry Wilbraham en un artículo de 1848.Wilbraham, Henry (1848) "On a certain periodic function", The Cambridge and Dublin Mathematical Journal, 3 : 198–201. El artículo atrajo poca atención hasta 1914, cuando fue mencionado en la revisión de análisis matemático de Heinrich Burkhardt en la Enciclopedia de Klein. En 1898, Albert Abraham Michelson desarrolló un dispositivo que podía calcular y resintetizar la serie de Fourier. Un mito muy extendido dice que cuando se introducían los coeficientes de Fourier para una onda cuadrada en la máquina, la gráfica oscilaría en las discontinuidades, y que como era un dispositivo físico sujeto a defectos de fabricación, Michelson estaba convencido de que el exceso se debía a errores en la máquina. De hecho, los gráficos producidos por la máquina no eran lo suficientemente buenos como para mostrar claramente el fenómeno de Gibbs, y es posible que Michelson no lo hubiera notado, ya que no mencionó este efecto en su artículo sobre su máquina o en sus cartas posteriores a la revista Nature. Available on-line at: National Chiao Tung University: Open Course Ware: Hewitt & Hewitt, 1979.
Inspirado por la correspondencia entre Michelson y A. E. H. Love publicada en Nature sobre la convergencia de la serie de Fourier de la función de onda cuadrada, J. Willard Gibbs publicó una nota en 1898 señalando la importante distinción entre el límite de las gráficas de las sumas parciales de la función de Fourier en serie de una onda de sierra, y la gráfica del límite de esas sumas parciales. En su primera carta, Gibbs no se dio cuenta del fenómeno que llevaría su nombre, y el límite que describió para las gráficas de las sumas parciales era inexacto. En 1899 publicó una corrección en la que describía el exceso en el punto de discontinuidad (Nature, 27 de abril de 1899, p. 606). En 1906, Maxime Bôcher realizó un análisis matemático detallado de ese exceso, acuñando el término de "fenómeno de Gibbs"Bôcher, Maxime (April 1906) "Introduction to the theory of Fourier's series", Annals of Mathethematics, second series, 7 (3) : 81–152. The Gibbs phenomenon is discussed on pages 123–132; Gibbs's role is mentioned on page 129. lo que acabó generalizando el uso del término.
Después de que la existencia del artículo de Henry Wilbraham se hiciera ampliamente conocida, en 1925 Horatio Scott Carslaw comentó: "Todavía podemos llamar a esta propiedad de la serie de Fourier (y de algunas otras series) fenómeno de Gibbs; pero ya no debemos afirmar que la propiedad fue descubierta por primera vez por Gibbs."
Explicación Informalmente, el fenómeno de Gibbs refleja la dificultad inherente a aproximar una función discontinua mediante una serie "finita" de ondas sinusoidales continuas. Es importante poner énfasis en la palabra "finita", porque aunque cada suma parcial de la serie de Fourier sobrepasa cada discontinuidad a la que se aproxima, el límite de sumar un número infinito de ondas sinusoidales no lo hace. Los picos de exceso se acercan cada vez más a la discontinuidad a medida que se suman más términos, por lo que la convergencia es posible.
No hay contradicción (entre el error de sobreimpulso que converge a una altura distinta de cero incluso si la suma infinita no tiene sobreimpulso), porque los picos de sobreimpulso se mueven hacia la discontinuidad. En consecuencia, el fenómeno de Gibbs exhibe convergencia puntual, pero no convergencia uniforme. Para una función continuamente diferenciable (de la clase C1) por partes, la serie de Fourier converge a la función en "todos los puntos", excepto en las discontinuidades de salto. En las discontinuidades de salto, la suma infinita convergerá al punto medio de la discontinuidad del salto (es decir, el promedio de los valores de la función a cada lado del salto), como consecuencia del teorema de Dirichlet.
El fenómeno de Gibbs está estrechamente relacionado con el principio de que la suavidad de una función controla la tasa de decaimiento de sus coeficientes de Fourier. Los coeficientes de Fourier de funciones más suaves decaerán más rápidamente (lo que dará como resultado una convergencia más rápida), mientras que los coeficientes de Fourier de funciones discontinuas decaerán lentamente (lo que dará como resultado una convergencia más lenta). Por ejemplo, la onda cuadrada discontinua tiene coeficientes de Fourier que decaen solo a una velocidad de , mientras que la Onda triangular continua tiene coeficientes de Fourier que decaen a una velocidad mucho más rápida de .
Esto solo proporciona una explicación parcial del fenómeno de Gibbs, ya que las series de Fourier con coeficientes absolutamente convergentes serían uniformemente convergentes sgún la prueba M de Weierstrass y, por lo tanto, no podrían exhibir el comportamiento oscilatorio anterior. Por la misma razón, es imposible que una función discontinua tenga coeficientes de Fourier absolutamente convergentes, ya que la función sería así el límite uniforme de funciones continuas, y por tanto sería continua, lo que implicaría una contradicción (véase Convergencia de series de Fourier).
Soluciones Dado que el fenómeno de Gibbs proviene de una insuficiencia de datos, se puede eliminar utilizando núcleos que nunca sean negativos, como el núcleo de Fejér.
En la práctica, las dificultades asociadas con el fenómeno de Gibbs pueden mejorarse utilizando un método más suave de suma de series de Fourier, como el sumatorio de Fejér o la media de Riesz; o bien utilizando la aproximación sigma. Utilizando una transformada con forma de ondícula continua, el fenómeno de Gibbs para una ondícula nunca excede al fenómeno de Fourier Gibbs.Rasmussen, Henrik O. "The Wavelet Gibbs Phenomenon". In Wavelets, Fractals and Fourier Transforms, Eds M. Farge et al., Clarendon Press, Oxford, 1993. Además, al utilizar la transformada de ondículas discreta con la ondícula de Haar, el fenómeno de Gibbs no aparece en absoluto en el caso de datos continuos en discontinuidades de salto, y es mínimo en el caso discreto en puntos de cambio grandes. En el análisis de ondículas, esto se conoce comúnmente como fenómeno de Longo. En el entorno de interpolación polinomial, el fenómeno de Gibbs se puede mitigar utilizando el algoritmo S-Gibbs.
Descripción matemática formal del fenómeno de Gibbs miniaturadeimagen|Aproximación funcional de una onda cuadrada. Sea una función definida a trozos continuamente diferenciable que es periódica con algún período . Supóngase que en algún punto , el límite izquierdo y el límite derecho de la función difieren por un salto distinto de cero de :
Para cada entero positivo = 1, sea la -ésima serie de Fourier parcial ( puede tratarse como un operador matemático en funciones).
donde los coeficientes de Fourier para números enteros vienen dados por las fórmulas habituales
Entonces, se tiene que
y
pero
De manera más general, si es cualquier secuencia de números reales que converge a como , y si el salto de es positivo, entonces
y
Si en cambio el salto de es negativo, es necesario intercambiar el límite superior () por el límite inferior (), y también intercambiar los signos y , en las dos desigualdades anteriores.
Demostración del fenómeno de Gibbs en un caso general Dicho nuevamente, sea una función continuamente diferenciable por partes que es periódica con algún período , y esta función tiene múltiples puntos de discontinuidad de salto denominados , donde y así sucesivamente. En cada discontinuidad, la cantidad del salto vertical completo es .
Entonces, se puede expresar como la suma de una función continua y una función de varios pasos que es la suma de funciones escalonadas como:
como serie parcial de Fourier th de convergerá en todos los puntos , excepto en aquellos cercanos a las discontinuidades . Alrededor de cada punto de discontinuidad , solo se verá afectada por el fenómeno de Gibbs propio (el error de convergencia oscilatoria máximo de ~ 9% del salto , como se demuestra en el análisis de una onda cuadrada) porque otras funciones son continuas () o planas de valor cero () donde ) alrededor de ese punto. Esto demuestra cómo se produce el fenómeno de Gibbs en cada discontinuidad.
Explicación del procesamiento de señales