En cálculo y topología, una función continua es una función para la cual, intuitivamente, variaciones pequeñas de puntos del dominio producen variaciones pequeñas en los valores de la función. Esto significa que no presenta "cambios bruscos" en puntos cercanos, lo que se conocería como una discontinuidad. Si la función no es continua, se dice que es discontinua.

Informalmente, una función continua de en es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo). Formalmente, una función es continua si se puede conseguir que sus valores varíen arbitrariamente poco a costa de hacer suficientemente pequeñas las distancias entre los argumentos considerados. Hasta el siglo , los matemáticos definían la continuidad intuitivamente, y sólo trabajaban con funciones continuas. La definición de continuidad se consiguió formalizar por medio de la definición épsilon-delta de límite.

La continuidad de funciones es uno de los conceptos básicos del análisis matemático y de la topología general. Este artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real, aunque más abajo se describen también las generalizaciones a varias variables, espacios métricos y espacios topológicos.

Continuidad o discontinuidad de una función en un punto Al analizar una función:

en un punto: , pueden darse los siguientes casos:

Funciones reales de una variable real 300px|derecha

Informalmente hablando, una función definida sobre un intervalo es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos , con en , está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.

El intervalo de es el dominio de definición de , definido como el conjunto de los valores de para los cuales f(x) existe.

El intervalo de es el rango (también conocido como imagen) de , el conjunto de los valores de , tomados como . Se escribe . Notar que en general, no es igual que el codominio (solo si la función en cuestión es suprayectiva.)

El mayor elemento de se llama el máximo absoluto de en , y el menor valor de es su mínimo absoluto en el dominio .

Continuidad de una función 298x298px|derecha

La definición de continuidad en un punto es la siguiente: Una función f es continua en un punto x0 que pertenezca al dominio de la función si:

tal que para toda x perteneciente al dominio de la función . La anterior definición se puede leer intuitivamente como sigue. Un función f es continua en un punto x0 si podemos hacer que sus valores aproximen la imagen del punto, f(x0), arbitrariamente bien ( ) si consideramos sólo puntos x suficientemente cercanos a x0 (que disten de él menos que una distancia que podemos tomar arbitrariamente pequeña). Es decir, las imágenes de alrededor de varían arbitrariamente poco si nos acercamos a lo suficiente.

Comparando la definición dada con la definición épsilon-delta de límite, la podemos escribir en términos de límites de la siguiente manera; si x0 es un punto del dominio de la función que es punto de acumulación del mismo, entonces f es continua en x0 si y solo si . Cuando x0 es un punto del dominio que no es de acumulación del mismo, es decir, es punto aislado del dominio, se cumple trivialmente la definición, luego toda función es continua en los puntos aislados de su dominio. Por ejemplo, las sucesiones de números reales son un caso de función real de variable real cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Como todos los puntos del dominio de una sucesión son puntos aislados del mismo, se concluye que toda sucesión es una función continua. Por otro lado, no tiene sentido hablar de si una función es o no continua en un punto que no pertenezca al dominio de la misma. Por ejemplo, la función f(x)=1/x es continua en todos los puntos de su dominio (obsérvese que cero no está en el dominio de la función). En cero, como no está en el dominio, no podemos hablar ni de si es continua ni de si no lo es puesto que la definición de continuidad en un punto y, por tanto, la posibilidad de decidir sobre si una función es o no continua en dicho punto, parte de un punto del dominio de la función antes de definir la continuidad en el mismo. No olvidemos que el dominio de una función no tiene por qué ser un intervalo. Por ejemplo, el dominio de la función es , el conjunto de los números enteros.

A veces en la definición se ponen desigualdades de menor o igual (y no estrictas), es decir, se dice que es continua en si

.

Esto no constituye un problema porque ambas versiones de la definición son equivalentes. En efecto, si es continua por la primera definición y queremos ver que lo es por la segunda, para cada basta tomar como delta de la segunda definición , donde es el delta que da la primera definición. Análogamente, suponiendo cierta la segunda definición, podemos comprobar la primera tomando en la segunda.

OBSERVACIÓN:

En el caso de aplicaciones de en , es común ver que se dice que una función es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x) cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además ambos coinciden con f(x1). Esto implicaría que, dada una función, si no está definida en un punto, ésta no es continua en él, llegando a una situación como la siguiente: La función definida como no es continua en 0 porque no está definida en dicho punto, pero tampoco es continua en 3 ni en 5. Esta definición, no satisfactoria, de continuidad está muy extendida, pero hay que recordar el requisito indispensable para poder hablar de continuidad de que el punto en el que se estudia la continuidad pertenezca al dominio. Si no está en el dominio, pero es punto de acumulación del mismo, podemos hablar de si puede o no extenderse con continuidad a dicho punto, pero no podemos decir que la función es discontinua en dicho punto (la función extendida sí podría ser discontinua, puesto que al incorporar dicho punto al dominio, tiene sentido plantearse el estudio de la continuidad en él).

Así pues, una función f continua en un punto de su dominio x1 que, además, es punto de acumulación del mismo, implica lo siguiente:

derecha|260px

(1). Existe el límite por la derecha:

(2). Existe el límite por la izquierda:

(3). Existe el límite por la derecha y por la izquierda:

(4). El límite por la derecha y el límite por la izquierda coinciden:

(5). Si existen el límite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene límite en este punto:

(6). Existe f(x1):

(7). El límite y el valor de la función coinciden:

Se dice que una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos.

300px|derecha

Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:

parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que .

Si f no es continua en un punto, el teorema cae en falta. En efecto, no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J.

La ventaja de esta definición es que se puede generalizar a cualquier espacio topológico.

Continuidad lateral 300px|derecha

Una función es continua por la izquierda en el punto si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

como en la figura.

Una función es continua por la derecha en el punto si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

Una función es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es:

Continuidad de una función en un intervalo abierto: (a,b) Un valor c, pertenece a un intervalo abierto I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= (a,b) si:

Una función, f es continua en un intervalo abierto I= (a,b), si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:

Continuidad de una función en un intervalo cerrado: [a,b] Un valor c, pertenece a un intervalo cerrado I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= [a,b] si:

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si la función es continua en el intervalo abierto (a,b) y es continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b:

Algunas funciones continuas importantes miniaturadeimagen|400px|Funciones seno y coseno

Las funciones polinomiales, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición.

La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real.

En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el dominio real, dado su carácter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.

Funciones definidas por intervalos 300px|derecha

Las funciones definidas para distintos intervalos de x, pueden ser discontinuas en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo:

La función parte entera de x, E(x), donde E(x) es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que: E(x) ≤ x < E(x) + 1.

Su gráfica es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas. Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha son diferentes, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante.

Otras funciones definidas por intervalos son: Función escalón unitario Función signo

Función racional

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Las funciones racionales son continuas en un intervalo adecuado. Un ejemplo de esto es la función inverso de x:

Esta función es una hipérbola compuesta por dos tramos. x < 0 y x > 0. Como se puede ver, es continua en todo el dominio porque no está definida en x= 0. Si se extiende el dominio de la función a R (dándole un valor arbitrario a f(0) la función será discontinua.

Teoremas sobre funciones continuas

Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas.

Teorema de Weierstrass: Si f es continua en entonces f tiene por lo menos un máximo y por lo menos un mínimo en dicho intervalo. Teorema de Bolzano: Si f es continua en y o , entonces existe tal que Teorema del valor intermedio: Si f es continua en y entonces existe tal que Acotación: Si f es una función sobre un conjunto compacto entonces, la función tiene un máximo o un mínimo (sobre un conjunto abierto se tiene el siguiente contraejemplo la función es continua sobre pero no es acotada).

Derivada y continuidad Las funciones derivables son continuas. Si una función es derivable en x=a entonces es continua en x=a. De modo que la continuidad es una condición necesaria para la derivabilidad.

Es importante notar que lo recíproco no es válido; es decir que nada se puede afirmar sobre la derivabilidad de una función continua. Un ejemplo claro de esta situación es la función valor absoluto f(x) = |x|, que si bien es continua en todo su dominio no es derivable en x = 0. Incluso hay funciones continuas en todo pero no derivables en ningún punto (las funciones del movimiento browniano verifican esto con probabilidad 1). Otro ejemplo clásico de esto es la función de Weierstrass.

Clases de continuidad Una función , se dice que: es de clase cuando es continua en todo el dominio . es de clase si está definida en todo el dominio junto con sus derivadas hasta orden y todas ellas son continuas.