En matemáticas, una función homogénea es una función tal que, si todos sus argumentos se multiplican por un escalar, entonces su valor se multiplica por alguna potencia de este escalar, llamado grado de homogeneidad, o simplemente el grado; es decir, si es un número entero, una función de variables es homogénea de grado si
para cada y
Expresado de otra manera, es una función que presenta un interesante comportamiento multiplicativo de escala: si todos los argumentos se multiplican por un factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el grado de la función homogénea (véase Definición formal).
Definición formal Supongamos una función cuya definición es entre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo . Entonces se dice que es homogénea de grado k si:
Ejemplos
Las funciones lineales Cualquier función lineal es homogénea de grado 1, puesto que por definición se tiene:
para todo y . Del mismo modo, cualquier función multilineal es homogénea de grado n, por definición.
para todo y . Se sigue que la n-ésima derivada de Fréchet de una función entre dos espacios de Banach y es homogénea de grado .
Polinomios homogéneos Los monomios de variables reales definen funciones homogéneas. Por ejemplo,
es homogénea de grado 10 puesto que:
Un polinomio homogéneo es un polinomio tal que todos sus términos tienen el mismo grado. Por ejemplo,
es un polinomio homogéneo de grado 5.
Propiedades El teorema de Euler sobre funciones homogéneas establece:
Teorema: Sea es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas parciales de primer orden son funciones homogéneas de grado k-1. es decir
Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler.
Aplicación a las EDOs La substitución convierte la ecuación diferencial ordinaria (EDO)
Donde y son funciones homogéneas del mismo grado, en la ecuación diferencial separable:
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos Función homogénea en Planet Math
Categoría:Álgebra lineal Homogenea Categoría:Leonhard Euler