mini|300px|La transformación P es la proyección ortogonal sobre una recta m
En matemáticas, un operador de proyección P en un espacio vectorial es una transformación lineal idempotente, es decir, que satisface la igualdad P2 = P."Basic methods of linear Functional Analysis" J.D. Pryce. Hutchinson University Library. Página 150
Introducción Dichas transformaciones proyectan cualquier punto x del espacio vectorial a un punto del subespacio imagen de la transformación. En caso de que x pertenezca al subespacio imagen, la proyección no tiene efecto, dejando el punto x fijo.Meyer, pp 386+387
Por ejemplo, el operador P definido en R3 de la forma siguiente
es un operador que "proyecta" el espacio R3 sobre el espacio de dimensión 2 que consiste de los vectores cuya coordenada y es cero.
Esta definición abstracta, de "proyector" o "proyección" generaliza la idea gráfica intuitiva de proyección extendiéndola a cualquier tipo de espacio vectorial, incluyendo el caso de dimensión infinita donde no resulta posible una aproximación gráfica.
Descomposición de un vector mediante una proyección
Sea V un espacio vectorial, una proyección e la aplicación identidad. Se verifica que Q=I-P es una proyección. Además, dado que P+Q=I todo vector puede ser descompuesto de la siguiente forma: ."Basic methods of linear functional analysis" J.D. Pryce. Hutchinson University Library. Página 150.
Proyectores ortogonales o autoadjuntos
Para pasar del concepto de «proyección» al de «proyección ortogonal» es preciso que exista un instrumento que nos diga si dos vectores son ortogonales, es decir, perpendiculares. Este instrumento es un producto interior definido en el espacio vectorial. Todo producto interior define una norma. El espacio vectorial puede ser o no completo respecto a ella. Si lo es, pasamos a hablar de un espacio de Hilbert. En este espacio, los conceptos «ortogonal» y «proyección ortogonal» están dotados plenamente de sentido.
En general, dado un subespacio vectorial W de un espacio V, existen muchas proyecciones sobre V. Si el espacio es un espacio de Hilbert y se exige además que el operador P sea un autoadjunto, es decir
entonces la proyección sobre V es única. El término «operador de proyección ortogonal» significa «operador de proyección autoadjunto».
En física, el término «operador de proyección» es sinónimo con proyección ortogonal.
En álgebra lineal y análisis funcional, una proyección es un aplicación lineal de un espacio vectorial sobre sí mismo (un endomorfismo) tal que . Es decir, siempre que se aplica dos veces a cualquier vector, se obtiene el mismo resultado que si se aplicara una vez (es decir, es idempotente). Expresado de otra manera, la imagen resultante queda sin cambios tras sucesivas aplicaciones. Esta definición de proyección formaliza y generaliza la idea de proyección tridimensional. También se puede considerar el efecto de una proyección sobre un objeto geométrico examinando el efecto de la proyección sobre sus puntos.
Definiciones Una proyección sobre un espacio vectorial es un operador lineal tal que .
Cuando posee un producto interior y es completo, es decir, cuando es un espacio de Hilbert, se puede utilizar el concepto de ortogonalidad. Una proyección en un espacio de Hilbert se denomina proyección ortogonal si satisface para todo . Una proyección sobre un espacio de Hilbert que no es ortogonal se denomina proyección oblicua.
Matriz de proyección Una matriz cuadrada se llama matriz de proyección si es igual a su cuadrado, es decir, si . Una matriz cuadrada se denomina matriz de proyección ortogonal si para una matriz real y, respectivamente, para una matriz compleja, donde denota la matriz transpuesta de y denota la matriz adjunta o traspuesta hermítica de . Una matriz de proyección que no es una matriz de proyección ortogonal se denomina matriz de proyección oblicua. Los autovalores de una matriz de proyección deben ser 0 o 1.
Ejemplos Proyección ortogonal
Por ejemplo, la función que asigna el punto en el espacio tridimensional al punto es una proyección ortogonal sobre el plano xy. Esta función está representada por la matriz.
La acción de esta matriz sobre un vector arbitrario es
Para ver que es de hecho una proyección, es decir, , se calcula
Debe observarse que muestra que la proyección es una proyección ortogonal.
Proyección oblicua Un ejemplo simple de una proyección no ortogonal (oblicua) es
A través de multiplicación de matrices, se ve que
mostrando que es de hecho una proyección.
La proyección es ortogonal si y solo si porque solo entonces
Propiedades y clasificación frame|right|La transformación T es la proyección a lo largo de k sobre m. El rango de T es m y el núcleo es k
Idempotencia Por definición, una proyección es idempotente (es decir, ).
Aplicación abierta Cada proyección es una aplicación abierta, lo que significa que asigna cada conjunto abierto de su dominio a un conjunto abierto en el subespacio topológico de la imagen. Es decir, para cualquier vector y cualquier bola (con radio positivo) centrada en , existe una bola (con radio positivo) centrada en que está totalmente contenida en la imagen .
Complementariedad de imagen y kernel Sea un espacio vectorial de dimensión finita y sea una proyección sobre . Supóngase que los subespacios y son imagen y núcleo de respectivamente. Entonces, tiene las siguientes propiedades:
es la función identidad en :
Existe la suma directa . Cada vector puede descomponerse únicamente como con y , y donde
La imagen y el núcleo de una proyección son complementarios, al igual que y . El operador también es una proyección, ya que la imagen y el núcleo de se convierten en el núcleo y la imagen de y viceversa. Se dice que es una proyección en sobre (núcleo/imagen) y es una proyección en sobre .
Espectro En espacios vectoriales de dimensión infinita, el espectro de una proyección está contenido en como
Sólo 0 o 1 puede ser los valores propios de una proyección. Esto implica que una proyección ortogonal es siempre una matriz semidefinida positiva. En general, los espacios propios correspondientes son (respectivamente) el núcleo y el rango de la proyección. La descomposición de un espacio vectorial en sumas directas no es única. Por lo tanto, dado un subespacio , puede haber muchas proyecciones cuyo rango (o núcleo) sea .
Si una proyección no es trivial, tiene como polinomio mínimo , que se descompone en distintos factores lineales y, por lo tanto, es diagonalizable.
Producto de proyecciones El producto de proyecciones no es en general una proyección, aunque sean ortogonales. Si dos proyecciones conmutan entonces su producto es una proyección, pero el enunciado inverso es falso: el producto de dos proyecciones que no conmutan puede ser una proyección.
Si dos proyecciones ortogonales conmutan, entonces su producto es una proyección ortogonal. Si el producto de dos proyecciones ortogonales es una proyección ortogonal, entonces las dos proyecciones ortogonales conmutan (de manera más general: dos endomorfismo autoadjuntos conmutan si y solo si su producto es autoadjunto).
Proyecciones ortogonales
Cuando el espacio vectorial tiene un espacio prehilbertiano y está completo (es decir, es un espacio de Hilbert) se puede utilizar el concepto de ortogonalidad. Una proyección ortogonal se caracteriza porque el rango y el núcleo son subespacios ortogonales. Así, por cada y en , .
Equivalentemente:
Una proyección es ortogonal si y solo si es autoadjunta. Usando las propiedades de ser autoadjunta e idempotente de , para cualquier y en se tiene que , y
donde es el producto interno asociado con . Por tanto, y son proyecciones ortogonales.Meyer, p. 433 La relación en sentido contrario, es decir, que si es ortogonal, entonces es autoadjunta; se sigue de la implicación de a
para cada y en ; y por lo tanto .
La existencia de una proyección ortogonal sobre un subespacio cerrado se desprende del teorema de proyección de Hilbert.
Propiedades y casos especiales Una proyección ortogonal es un operador lineal acotado. Esto se debe a que para cada en el espacio vectorial se tiene que, por la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz:
Así, .
Para espacios vectoriales reales o complejos de dimensión finita, el producto escalar se puede sustituir por .
Fórmulas Un caso simple ocurre cuando la proyección ortogonal es sobre una recta. Si es un vector unitario en la recta, entonces la proyección viene dada por el producto exterior
(si tiene un valor complejo, la traspuesta en la ecuación anterior se reemplaza por una transpuesta hermítica). Este operador deja invariante u y anula todos los vectores ortogonales a , lo que demuestra que de hecho es la proyección ortogonal sobre la línea recta que contiene a u.Meyer, p. 431 Una forma sencilla de ver esto es considerar un vector arbitrario como la suma de una componente de la recta (es decir, el vector proyectado que buscamos) y otra perpendicular a ella, . Aplicando la proyección se obtiene
por las propiedades del producto escalar de vectores paralelos y perpendiculares.
Esta fórmula se puede generalizar a proyecciones ortogonales en un subespacio de dimensión arbitraria. Sea una base ortonormal del subespacio , asumiendo que el número entero , y sea la matriz cuyas columnas son , es decir, . Entonces, la proyección viene dada por:Meyer, equation (5.13.4)
que se puede reescribir como
La matriz es la isometria parcial que desaparece en el complemento ortogonal de , y es la isometría que embebe a en el espacio vectorial subyacente. Por tanto, el rango de es el espacio final de . También está claro que es el operador de identidad en .
También se puede eliminar la condición de ortonormalidad. Si es una base (no necesariamente ortonormal) con , y es la matriz con estos vectores como columnas, entonces la proyección es:Meyer, equation (5.13.3)
La matriz todavía incorpora en el espacio vectorial subyacente pero ya no es una isometría en general. La matriz es un factor normalizador que recupera la norma. Por ejemplo, el operador de rango-1 no es una proyección si . Después de dividir por se obtiene la proyección sobre el subespacio abarcado por .
En el caso general, se puede tener una matriz positiva definida arbitraria que define un producto interno , y la proyección viene dada por . Entonces
Cuando el espacio de rango de la proyección es generado por un marco (es decir, el número de generadores es mayor que su dimensión), la fórmula para la proyección toma la forma: . Aquí represnta la matriz pseudoinversa de Moore-Penrose. Esta es solo una de las muchas formas de construir el operador de proyección.
Si es una matriz no singular y (es decir, es la matriz núcleo de ),Véase también Mínimos cuadrados lineales (matemáticas) § Propiedades de los estimadores de mínimos cuadrados. se cumple lo siguiente:
Si la condición ortogonal se mejora a con no singular, se cumple lo siguiente:
Todas estas fórmulas también son válidas para espacios con productos internos complejos, siempre que se utilice la matriz traspuesta conjugada en lugar de la traspuesta. Se pueden encontrar más detalles sobre las sumas de las proyecciones en Banerjee y Roy (2014). Véase también Banerjee (2004) para la aplicación de sumas de proyecciones en trigonometría esférica básica.
Proyecciones oblicuas El término proyecciones oblicuas se utiliza a veces para referirse a proyecciones no ortogonales. Estas proyecciones también se utilizan para representar figuras espaciales en dibujos bidimensionales (véase proyección oblicua), aunque no con tanta frecuencia como las proyecciones ortogonales. Mientras que calcular el valor ajustado de una regresión mínimos cuadrados ordinarios requiere una proyección ortogonal, calcular el valor ajustado de una regresión variable instrumental requiere una proyección oblicua.