miniatura|Alegoría de la geometría, de Hans Sebald Beham (s. XVI).
La geometría (del latín geometrĭa, y este del griego γεωμετρία de γῆ gē, ‘tierra’, y μετρία metría, ‘medida’) es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (como paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).
Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, geografía, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc., y es útil en la preparación de diseños e incluso en la fabricación de artesanía.
Historia
Axiomas, definiciones y teoremas miniatura|derecha|Un teorema descubierto y probado por Arquímedes: una esfera tiene del volumen de su cilindro circunscrito La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático lo establece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbert propuso a principios del otro sistema axiomático, este ya completo. Como en todo sistema formal, las definiciones, no solo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos.
Esto significa que las palabras «punto», «recta» y «plano» deben perder todo significado material. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y sus relaciones serán virtualmente idénticas al del modelo «tradicional».
Los siguientes son algunos de los conceptos más importantes en geometría.Tabak, John (2014). Geometry: the language of space and form. Infobase Publishing. p. xiv. ISBN 978-0-8160-4953-0Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. (2002). "A coherent curriculum". American Educator, 26(2), 1–18.
Axiomas
derecha|miniatura|La geometría esférica es un ejemplo de geometría no euclidiana. En geometría euclidiana, los axiomas y postulados son proposiciones que relacionan conceptos, definidos en función del punto, la recta y el plano. Euclides planteó cinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelismo) el que siglos después —cuando muchos geómetras lo cuestionaron al analizarlo— originará nuevas geometrías: la elíptica (geometría de Riemann) o la hiperbólica de Nikolái Lobachevski.
En geometría analítica, los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en el análisis matemático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos. puede definir cualquier función, llámese recta, circunferencia, plano, etc.
miniatura|derecha|Ilustración del postulado de las paralelas de Euclides. Euclides adoptó un enfoque abstracto de la geometría en sus Elementos, uno de los libros más influyentes jamás escritos. Euclides introdujo ciertos axiomas o postulados que expresan propiedades primarias o evidentes de puntos, líneas y planos. Procedió a deducir rigurosamente otras propiedades mediante el razonamiento matemático. El rasgo característico de la aproximación de Euclides a la geometría fue su rigor, y ha llegado a conocerse como geometría axiomática o sintética. A principios del , el descubrimiento de geometrías no euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai (1802-1860), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y otros llevaron a un resurgimiento del interés por esta disciplina, y en el , David Hilbert (1862–1943) empleó el razonamiento axiomático en un intento de proporcionar una base moderna de la geometría.
Puntos
Los puntos se consideran objetos fundamentales en la geometría euclidiana. Se han definido de diversas formas, incluida la definición de Euclides como "aquello que no tiene parte" Euclid's Elements – All thirteen books in one volume, Based on Heath's translation, Green Lion Press . y mediante el uso de álgebra o conjuntos anidados. En muchas áreas de la geometría, como la geometría analítica, la geometría diferencial y la topología, se considera que todos los objetos se construyen a partir de puntos. Sin embargo, se ha realizado algún estudio de geometría sin referencia a puntos.
Líneas Euclides describió una línea como "longitud sin ancho" que "se encuentra igualmente con respecto a los puntos sobre sí misma". En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de línea está estrechamente relacionado con la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en geometría analítica, una línea en el plano a menudo se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada, pero en un entorno más abstracto, como la geometría de incidencia, una línea puede ser un objeto independiente, distinto del conjunto de puntos que se encuentran en él.Buekenhout, Francis (1995), Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations, Elsevier B.V. En geometría diferencial, una geodésica es una generalización de la noción de línea a espacios curvos.
Planos Un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende infinitamente. Los planos se utilizan en todas las áreas de la geometría. Por ejemplo, los planos se pueden estudiar como una superficie topológica sin hacer referencia a distancias o ángulos;Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000. se puede estudiar como un espacio afín, donde se pueden estudiar la colinealidad y las proporciones pero no las distancias;Szmielew, Wanda. 'From affine to Euclidean geometry: An axiomatic approach.' Springer, 1983. se puede estudiar como el plano complejo utilizando técnicas de análisis complejo ;Ahlfors, Lars V. Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. New York, London (1953). y así sucesivamente.
Ángulos Euclides define un ángulo plano como la inclinación entre sí, en un plano, de dos líneas que se encuentran y no son rectas entre sí. En términos modernos, un ángulo es la figura formada por dos rayos de luz, llamados lados del ángulo, que comparten un punto final común, llamado vértice del ángulo. miniatura|Ángulos agudos (a), obtusos (b) y rectos (c). Los ángulos agudos y obtusos también se denominan ángulos oblicuos. En la geometría euclidiana, los ángulos se utilizan para estudiar polígonos y triángulos, además de formar un objeto de estudio por derecho propio. El estudio de los ángulos de un triángulo o de los ángulos en un círculo unitario forma la base de la trigonometría.Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevič, and Mark Saul. "Trigonometry." 'Trigonometry'. Birkhäuser Boston, y su ayudante Moiseevič desde el 2001. 1–20.
En geometría diferencial y cálculo, los ángulos entre curvas planas o curvas espaciales o superficies se pueden calcular utilizando la derivada.Stewart, James (2012). Calculus: Early Transcendentals, 7th ed., Brooks Cole Cengage Learning. .
Curvas Una curva es un objeto unidimensional que puede ser recto (como una línea) o no; las curvas en el espacio bidimensional se denominan curvas planas y las del espacio tridimensional se denominan curvas espaciales.Baker, Henry Frederick. Principles of geometry. Vol. 2. CUP Archive, 1954.
En topología, una curva se define mediante una función de un intervalo de los números reales a otro espacio. En geometría diferencial, se usa la misma definición, pero se requiere que la función definitoria sea diferenciable. La geometría algebraica estudia las curvas algebraicas, que se definen como variedades algebraicas de dimensión uno.
Superficies miniatura|upright=0.85| Una esfera es una superficie que se puede definir paramétricamente (como o en forma implícita (como .) Una superficie es un objeto bidimensional, como una esfera o un paraboloide.Briggs, William L., and Lyle Cochran Calculus. "Early Transcendentals." . En geometría diferencialDo Carmo, Manfredo Perdigao, and Manfredo Perdigao Do Carmo. Differential geometry of curves and surfaces. Vol. 2. Englewood Cliffs: Prentice-hall, 1976. y topología, las superficies se describen mediante "parches" bidimensionales (o vecindades ) que se ensamblan mediante difeomorfismos u homeomorfismos, respectivamente. En geometría algebraica, las superficies se describen mediante ecuaciones polinómicas.
Variedades Una variedad es una generalización de los conceptos de curva y superficie. En topología, una variedad es un espacio topológico donde cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa al espacio euclidiano. En geometría diferencial, una variedad diferenciable es un espacio donde cada vecindario es difeomórfico al espacio euclidiano.
Las variedades se utilizan ampliamente en física, incluida la relatividad general y la teoría de cuerdas.Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions. Basic Books. .
Longitud, área y volumen
La longitud, el área y el volumen describen el tamaño o la extensión de un objeto en una dimensión, dos dimensiones y tres dimensiones, respectivamente.
En geometría euclidiana y geometría analítica, la longitud de un segmento de línea a menudo se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras.
El área y el volumen pueden definirse como cantidades fundamentales separadas de la longitud, o pueden describirse y calcularse en términos de longitudes en un plano o espacio tridimensional. Los matemáticos han encontrado muchas fórmulas explícitas para el área y fórmulas para el volumen de varios objetos geométricos. En cálculo, el área y el volumen se pueden definir en términos de integrales, como la integral de Riemann o la integral de Lebesgue.
Métricas y medidas
miniatura|derecha|Comprobación visual del teorema de Pitágoras para el triángulo (3, 4, 5) como en el Zhoubi Suanjing 500-200 a. C. El teorema de Pitágoras es una consecuencia de la métrica euclidiana]. El concepto de longitud o distancia se puede generalizar, dando lugar a la idea de métricas.Dmitri Burago, Yu D Burago, Sergei Ivanov, A Course in Metric Geometry, American Mathematical Society, 2001, . Por ejemplo, la métrica euclidiana mide la distancia entre puntos en el plano euclidiano, mientras que la métrica hiperbólica mide la distancia en el plano hiperbólico. Otros ejemplos importantes de métricas incluyen la métrica de Lorentz de la relatividad especial y la métrica semirriemanniana de la relatividad general.
En otra dirección, los conceptos de longitud, área y volumen se amplían con la teoría de la medida, que estudia métodos de asignación de un tamaño o medida a conjuntos, donde las medidas siguen reglas similares a las del área y volumen clásicos.
Congruencia y similitud
La congruencia y la similitud son conceptos que describen cuando dos formas tienen características similares. En la geometría euclidiana, la similitud se usa para describir objetos que tienen la misma forma, mientras que la congruencia se usa para describir objetos que son iguales tanto en tamaño como en forma. Hilbert, en su trabajo sobre la creación de una base más rigurosa para la geometría, trató la congruencia como un término indefinido cuyas propiedades están definidas por axiomas.
La congruencia y la similitud se generalizan en la geometría de transformación, que estudia las propiedades de los objetos geométricos que se conservan mediante diferentes tipos de transformaciones.
Construcciones con compás y regla