En geometría, un politopo de cruce u ortoplejo, es un politopo regular convexo que existe en cualquier número de dimensiones. Los vértices de un politopo de cruce consisten de todas las permutaciones de (±1, 0, 0, …, 0). El politopo de cruce es el casco o envoltorio convexo de sus vértices. (Nota: algunos autores definen al politopo convexo sólo como la envoltura de esta región).
En una dimensión, el politopo de cruce es simplemente un segmento de línea [−1, +1], en dos dimensiones es el cuadrado con vértices {(±1, 0), (0, ±1)}. En tres dimensiones es el octaedro (uno de los cinco poliedros conocidos como sólidos platónicos. Los politopos de cruce en mayor número de dimensiones son generalizaciones de estos.
120px|Politopo de cruce de 2 dimensiones120px|Politopo de cruce de 3 dimensiones120px|Politopo de cruce de 4 dimensiones2 dimensiones3 dimensiones4 dimensiones
El politopo de cruce es el dual del politopo de medida.
Cuatro dimensiones
El politopo de cruce de cuatro dimensiones tiene el nombre de hexadecacoron o 16-cell, uno de los seis polícoros regulares. Estos polícoros fueron descriptos originalmente por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del .
Dimensiones mayores
En n dimensiones con n > 4 existen sólo tres politopos regulares: el simplex, el politopo de medida, y el politopo de cruce, siendo estos dos últimos duales y el simplex auto-dual.
El politopo de cruce n-dimensional tiene 2n vértices, y 2n facetas (componentes (n−1)-dimensionales) todos los cuales son n−1-simplices. Las figuras de vértice son todas politopos de cruce (n−1)dimensionales. El símbolo de Schläfli del politopo de cruce es {3,3,…,3,4}.
El número de componentes k-dimensionales (vértices, aristas, caras, …, facetas) de un politopo de cruce n-dimensional está determinado por (ver coeficiente binomial):
Para los primeros n y k tendremos:
+ Elementos de los Politopos de Cruce nβnk11 Name(s)GrafoGrafo2n-gonoGrafo2(n-1)-gonoSchläfli Vértices Aristas Caras 3-caras 4-caras 5-caras 6-caras 7-caras 8-caras 9-caras 1β1Segmento1-ortoplex50px{} 2 2β2 −111Cuadrado2-ortoplexBicruce50px50px{4}{}+{} 4 4 3β3011 Octaedro3-orthoplexTricruce50px50px{3,4}{30,1,1}{}+{}+{} 6 12 8 4β4111Hexadecacoron4-orthoplexTetracruce50px50px{3,3,4}{31,1,1}4{} 8 24 32 16 5β52115-ortoplexPentacruce50px50px{33,4}{32,1,1}5{} 10 40 80 80 32 6β6311 6-ortoplexHexacruce50px50px{34,4}{33,1,1}6{} 12 60 160 240 192 64 7β74117-ortoplexHeptacruce50px50px{35,4}{34,1,1}7{} 14 84 280 560 672 448 128 8β85118-ortoplexOctacruce50px50px{36,4}{35,1,1}8{} 16 112 448 1120 1792 1792 1024 256 9β96119-ortoplexEneacruce50px50px{37,4}{36,1,1}9{} 18 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512 10 β1071110-ortoplexDecacruce50px50px{38,4}{37,1,1}10{}201809603360806413440153601152051201024... n βnk11n-ortoplexn-cruce{3n − 2,4}{3n − 3,1,1}n{} 2n 0-caras, ... k-caras ..., 2n (n-1)-caras
Los vértices de un politopo de cruz alineado según los ejes están todos a igual distancia unos de otros en la Distancia Manhattan (L1 norm). La Conjetura de Kusner's afirma que afirma que este conjunto de puntos 2D es el mayor conjunto equidistante posible para esta distancia..
Véase también
Referencias
Bibliografía p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5)
Enlaces externos
Polytope Viewer (Click <polytopes...> to select cross polytope.)
Categoría:Politopos Categoría:Geometría tetradimensional