En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema de referencia que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar inequivocamente la posición de un punto u objeto geométrico. El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo «la coordenada-x». El estudio de los sistemas de coordenadas es el objeto de la geometría analítica, que permite formular problemas geométricos de forma "numérica".

Introducción Coordenadas en geometría mini|right|350px|mini|Sistema de coordenadas cartesianas tridimensional En geometría, las coordenadas son valores numéricos que determinan la posición de un punto en un plano o en el espacio. En un plano euclídeo, la posición de un punto puede venir determinada por las distancias a dos líneas rectas (ejes de coordenadas) que se cruzan en un punto (origen) en ángulo recto; una de las coordenadas se llama ordenada y la otra abscisa. En el espacio euclídeo tridiomensional según el sistema de Descartes, la posición de un punto está determinada si se especifican las distancias a tres planos de coordenadas que se cruzan en un punto en ángulo recto entre sí. Sin embargo estas formas de especificar un punto no son las únicas posibles, las coordenadas polares en el plano o las coordenadas esféricas (donde el origen está en el centro de una serie de esferas) o las coordenadas cilíndricas en el espacio son otras formas que requieren especificar menos distancias y más ángulos de orientación.

En geografía, las coordenadas se eligen como un sistema de coordenadas aproximadamente esférico: latitud, longitud y altura por encima de un nivel general conocido (como por ejemplo, el del océano). La latitud mide la ubicación norte-sur de un punto en relación con el ecuador, la longitud mide la ubicación este-oeste en relación con el meridiano de Greenwich, y la altura representa la elevación de un punto sobre un nivel de referencia, como el nivel del mar. Este sistema de coordenadas es esencial para la ubicación precisa en la superficie terrestre y se utiliza en cartografía, navegación, topografía y en tecnologías GNSS (Sistema Global de Navegación por Satélite), proporcionando una base sólida para la representación geoespacial y la geolocalización precisa de lugares en todo el mundo.

El sistema de coordenadas más utilizado es el sistema de coordenadas rectangulares, también conocido como sistema de coordenadas cartesianas. Ese tipo de sistemas puede funcionar como un sistema de coordenadas único para todo un espacio euclídeo y los puntos y objetos situados dentro de él. Para lograr eso se requiere la noción de origen de coordenadas.

Las coordenadas en el plano y en el espacio se pueden definir de un número ilimitado de formas diferentes. La resolución de numerosos problemas matemáticos o físicos implica elegir aquel sistema de coordenadas específico en el que el problema se resuelva más fácil o más conveniente en cada caso particular.

Coordenadas en física y astronomía En astronomía, las coordenadas celestes son un par ordenado de cantidades angulares (por ejemplo, ascensión recta y declinación), con las que se determina la posición de distintos puntos luminosos y de puntos auxiliares en la esfera celeste. En la práctica, se utilizan varios sistemas de coordenadas celestes. Cada uno de ellos es esencialmente un sistema de coordenadas esféricas (sin coordenadas radiales) con un plano fundamental y un origen elegidos apropiadamente. Dependiendo de la elección del plano fundamental, el sistema de coordenadas celestes se llama horizontal (plano del horizonte), ecuatorial (plano ecuatorial), eclíptico (plano de la eclíptica) o galáctico (plano galáctico). El concepto de sistemas de coordenadas aplica a espacios geométricos más complejos que el espacio euclídeo, por esa razón se requiere una definición formal de sistema de coordenadas que especifique la posición de puntos. Nótese que por ejemplo de acuerdo a la cosmología moderna la forma del espacio-tiempo es un espacio curvado por lo que en el universo no siempre sería posible usar coordenadas cartesianas.

Definición formal Dado un espacio geométrico o topológico que tiene estructura de variedad diferenciable de dimensión n un sistema de coordenadas es una difeomorfismo: , donde es un conjunto abierto del espacio euclídeo n-dimensional. Es decir, para cada punto tenemos las coordenadas , el conjunto de todas estas n-tuplas para el espacio define un sistema de coordenadas local.

Ejemplos de sistemas de coordenadas Sistema coordenado lineal

Es el conjunto de los números reales representado gráficamente por una recta en la que se pueden ubicar todos los números naturales, enteros, fraccionarios, decimales, etc.

Cada punto de la recta representa un número real, ya sea mediante una correspondencia biunívoca o mediante una aplicación biyectiva, usada para representar los números como puntos especialmente marcados, como por ejemplo los números enteros mediante una recta llamada recta graduada como la entera de puntos ordenados y separados entre sí a la misma distancia. El punto que representa el cero () es el punto de referencia principal del sistema de coordenadas, llamado punto de origen.

Tomando en cuenta que cada uno de los puntos de la recta representa gráficamente un número real, a la derecha del punto origen se hallan todos los números reales positivos y a la izquierda todos los números reales negativos.

Para representar un número de la recta real se emplean las letras mayúsculas y sus coordenadas correspondientes, por ejemplo, los puntos A(5), B(3), C(-3), D(-5),etc.

Sistema de coordenadas cartesianas

300px|right|Coordenadas cartesianas

En un espacio euclídeo, un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto () sobre un eje determinado:

Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y un vector () tal que:

, cuyo módulo es .

El valor de la coordenada x de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto sobre el eje x:

Sistema de coordenadas polares

mini|right|200px|Localización de un punto en coordenadas polares

Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto o posición del plano se determina mediante un ángulo y una distancia.

Se elige un punto como polo y se toma una semirrecta desde este punto como eje polar. Para un ángulo dado , hay una única línea recta que pasa por el polo cuyo ángulo con el eje polar es (medido en sentido contrario al de las agujas del reloj desde el eje hasta la línea). Entonces hay un único punto en esta línea cuya distancia con signo al origen es r para un número dado r. Para un par de coordenadas dado hay un único punto, pero cualquier punto está representado por muchos pares de coordenadas. Por ejemplo, , y son todas coordenadas polares para el mismo punto. El polo está representado por para cualquier valor de .

Sistema de coordenadas log-polares

Es un sistema de coordenadas donde un punto se identifica con dos números, uno para el logaritmo de la distancia a un cierto punto y otro para un ángulo. Las coordenadas logarítmicas están estrechamente conectadas con las coordenadas polares, que generalmente se usan para describir dominios en el plano con algún tipo de simetría rotacional.

Sistema de coordenadas cilíndricas

thumb|Significado de las coordenadas cilíndricas|center|x200px

El sistema de coordenadas cilíndricas se usa para representar los puntos de un espacio euclídeo tridimensional. Resulta especialmente útil en problemas con simetría axial. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares del plano euclídeo, al que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el eje y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada que determina la altura del cilindro.

Sistema de coordenadas esféricas

x200px|center|mini|Coordenadas esféricasx200px|center|mini|Coordenadas geográficas Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usa en espacios euclidianos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente ortogonales que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.

Coordenadas geográficas

Este tipo de coordenadas cartográficas, subtipo de las coordenadas esféricas, se usa para definir puntos sobre una superficie esférica. Hay varios tipos de coordenadas geográficas. El sistema más clásico y conocido es el que emplea la latitud y la longitud, que pueden mostrase en los siguientes formatos:

DD   — Decimal Degree (Grados Polares): ej. 49.500-123.500 DM   — Degree:Minute (Grados:Minutos): ej. 49:30.0-123:30.0 DMS — Degree:Minute:Second (Grados:Minutos:Segundos): ej. 49:30:00-123:30:00

También se pueden definir las coordenadas de un punto de la superficie de la Tierra utilizando una proyección cartográfica. El sistema de coordenadas cartográficas proyectadas más habitual es el sistema de coordenadas UTM.

Coordenadas curvilíneas generales

Un sistema de coordenadas curvilíneos es la forma más general de parametrizar o etiquetar los puntos de un espacio localmente euclídeo o de una variedad diferenciable (globalmente, el espacio puede ser euclídeo, pero no necesariamente). Si se trata de un espacio localmente euclídeo de dimensión , se puede construir un sistema de coordenadas curvilíneo local en torno a un punto siempre a partir de cualquier difeomorfismo que cumpla:

Para cualquier punto q cercano a p se definen sus coordenadas curvilíneas como:

Si el espacio localmente euclídeo tiene la estructura de variedad de Riemann se pueden clasificar ciertos sistemas de coordenadas curvilíneas como sistemas de coordenadas ortogonales o incluso como sistemas de coordenadas ortonormales. Las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas son casos particulares de sistemas de coordenadas ortogonales sobre el espacio euclídeo .

Coordenadas curvilíneas ortogonales

Un sistema de coordenadas curvilíneas se llama ortogonal cuando el tensor métrico expresado en esas coordenadas tiene una forma diagonal. Cuando eso sucede muchas de las fórmulas del cálculo vectorial diferencial se pueden escribir de forma particularmente simple en esas coordenadas, pudiéndose aprovechar ese hecho cuando existe por ejemplo simetría axial, esférica o de otro tipo fácilmente representable en esas coordenadas curvilíneas ortogonales.

Las coordenadas esféricas y cilíndricas son casos particulares de coordenadas curvilíneas ortogonales.

Coordenadas homogéneas

En matemáticas, y más concretamente en geometría proyectiva, las coordenadas homogéneas son un instrumento usado para describir un punto en el espacio proyectivo. Fueron introducidas por el matemático alemán August Ferdinand Möbius en el año 1837.

También pueden usarse como un sistema alternativo de coordenadas para trabajar en el espacio euclídeo, pues este puede verse como un subconjunto del espacio proyectivo. De ese modo, las coordenadas homogéneas son ampliamente usadas en infografía para la representación de escenas en tres dimensiones. Su notación en forma matricial se emplea en bibliotecas de programación gráfica en 3D como OpenGL y Direct3D.